Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial:
Passo 1
Beleza, então a gente tem que provar que o campo vetorial
é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Isso envolve o estudo de campos vetoriais e funções potenciais na matéria de Cálculo Vetorial. Vamos precisar verificar se as condições para um campo ser conservativo são satisfeitas e, se sim, descobrir a função cuja derivada dá exatamente esse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso quer dizer que
e
. Uma das condições para que isso seja verdade é que as derivadas parciais mistas de
sejam iguais, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
. No nosso caso,
e
. Então:
Como
, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto,
é um campo conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a derivada em relação a
eliminou qualquer dependência de
.
Passo 5
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Sabemos que
, então:
Integrando
, encontramos que
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A função potencial é
, onde
é uma constante.