Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial: F(x, y) = y i + x j

Passo 1

Beleza, então a gente tem que provar que o campo vetorial é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Isso envolve o estudo de campos vetoriais e funções potenciais na matéria de Cálculo Vetorial. Vamos precisar verificar se as condições para um campo ser conservativo são satisfeitas e, se sim, descobrir a função cuja derivada dá exatamente esse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar phi(x, y) tal que . Isso quer dizer que e . Uma das condições para que isso seja verdade é que as derivadas parciais mistas de phi sejam iguais, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de P e Q. No nosso caso, e . Então:
Como , a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto, F é um campo conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial phi(x, y). Para isso, vamos integrar P em relação a x:
Aqui, é uma função que depende apenas de y, já que a derivada em relação a x eliminou qualquer dependência de x.

Passo 5

Para encontrar , vamos derivar phi(x, y) em relação a y e igualar a Q:
Sabemos que , então:
Integrando , encontramos que é uma constante, que podemos chamar de C.

Resposta

A função potencial é , onde C é uma constante.

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