Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o campo vetorial
é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais em cálculo vetorial, onde um campo conservativo é aquele que pode ser derivado de uma função escalar chamada potencial. Para resolver, vamos verificar se o campo é conservativo e, se for, vamos encontrar essa função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função
tal que:
Isso significa que:
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, precisamos confirmar se a condição de igualdade das derivadas cruzadas é satisfeita, ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a condição é satisfeita.
Passo 5
Como a condição
é verdadeira, isso confirma que o campo
é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial
.
Passo 6
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da constante de integração.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante.
Passo 8
Podemos escolher
sem perder generalidade. Assim, a função potencial é:
Resposta
A função potencial do campo vetorial é
.