Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial: F(x, y) = e^x sen(y) i + e^x cos(y) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o campo vetorial é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais em cálculo vetorial, onde um campo conservativo é aquele que pode ser derivado de uma função escalar chamada potencial. Para resolver, vamos verificar se o campo é conservativo e, se for, vamos encontrar essa função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função tal que:
Isso significa que:

Passo 3

Para verificar se o campo F é conservativo, precisamos confirmar se a condição de igualdade das derivadas cruzadas é satisfeita, ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando :
Agora, calculando :
Como , a condição é satisfeita.

Passo 5

Como a condição é verdadeira, isso confirma que o campo F é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial .

Passo 6

Para encontrar , integramos P em relação a x:
Aqui, é uma função de y que surge da constante de integração.

Passo 7

Agora, derivamos em relação a y e igualamos a Q:
Isso implica que , ou seja, é uma constante.

Passo 8

Podemos escolher sem perder generalidade. Assim, a função potencial é:

Resposta

A função potencial do campo vetorial é .

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