Sejam
e
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que uma certa combinação de operações vetoriais com os vetores
e
resulta em uma expressão específica. Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, como divergência, rotacional (ou rot), gradiente (nabla) e módulo de um vetor. Para resolver isso, vamos precisar calcular cada uma dessas operações passo a passo e depois combinar os resultados para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que cada uma dessas operações significa:
-
Divergência (
): Mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto. Para um vetor , é calculada como: -
Rotacional (
ou ): Mede a tendência de um campo vetorial de “girar” ao redor de um ponto. Para : -
Gradiente (
): Para uma função escalar , o gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento de : -
Módulo de um vetor (
): É o comprimento do vetor:
Agora, vamos aplicar essas definições aos vetores
e
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
e de
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de
e de
.
Para
:
Para
:
O módulo do rotacional de
é:
Passo 5
Vamos calcular o gradiente do módulo de
e de
.
Primeiro, calculamos
e
.
Para
:
Para
:
Agora, o gradiente de
:
Como
, o gradiente de
também é:
Passo 6
Agora vamos juntar todas as partes na expressão dada:
Substituindo os valores que calculamos:
Então:
Simplificando:
Resposta
Portanto, mostramos que:
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Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
a)
a)
Valor (2,0 pontos) Verifique se os subconjuntos abaixo sẵo subespaços do espaço fetorial V. Justifique sua resposta
e
Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
d)
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