Sejam v=(x, y, z) e w=(z, x, y). Mostre que
(Div(v)) v+(Div(w)) w+Rot(v)+|Rot(w)| v+nabla|v|+nabla|w|=(3+raiz3+2|v|) v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que uma certa combinação de operações vetoriais com os vetores v = (x, y, z) e w = (z, x, y) resulta em uma expressão específica. Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, como divergência, rotacional (ou rot), gradiente (nabla) e módulo de um vetor. Para resolver isso, vamos precisar calcular cada uma dessas operações passo a passo e depois combinar os resultados para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que cada uma dessas operações significa:
  • Divergência ( Div): Mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto. Para um vetor v = (vx, vy, vz), é calculada como:
    Div(v) = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z
  • Rotacional ( Rot ou nabla times): Mede a tendência de um campo vetorial de “girar” ao redor de um ponto. Para v = (vx, vy, vz):
    Rot(v) = nabla times v = ( partial vzpartial y - partial vypartial z, partial vxpartial z - partial vzpartial x, partial vypartial x - partial vxpartial y )
  • Gradiente ( nabla): Para uma função escalar f, o gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento de f:
    nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
  • Módulo de um vetor ( |v|): É o comprimento do vetor:
    |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Agora, vamos aplicar essas definições aos vetores v e w.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de v e de w.
Para v = (x, y, z):
Div(v) = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3
Para w = (z, x, y):
Div(w) = partial zpartial x + partial xpartial y + partial ypartial z = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de v e de w.
Para v = (x, y, z):
Rot(v) = nabla times v = ( partial zpartial y - partial ypartial z, partial xpartial z - partial zpartial x, partial ypartial x - partial xpartial y ) = (0 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (0, 0, 0)
Para w = (z, x, y):
Rot(w) = nabla times w = ( partial ypartial y - partial xpartial z, partial zpartial z - partial ypartial x, partial xpartial x - partial zpartial y ) = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 0) = (1, 1, 1)
O módulo do rotacional de w é:
|Rot(w)| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3

Passo 5

Vamos calcular o gradiente do módulo de v e de w.
Primeiro, calculamos |v| e |w|.
Para v = (x, y, z):
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2
Para w = (z, x, y):
|w| = raizz^2 + x^2 + y^2 = raizx^2 + y^2 + z^2 = |v|
Agora, o gradiente de |v|:
nabla |v| = ( x|v|, y|v|, z|v| ) = 1|v| v
Como |w| = |v|, o gradiente de |w| também é:
nabla |w| = 1|v| v

Passo 6

Agora vamos juntar todas as partes na expressão dada:
(Div(v)) v + (Div(w)) w + Rot(v) + |Rot(w)| v + nabla |v| + nabla |w|
Substituindo os valores que calculamos:
  • Div(v) = 3
  • Div(w) = 0
  • Rot(v) = (0, 0, 0)
  • |Rot(w)| = raiz3
  • nabla |v| = 1|v| v
  • nabla |w| = 1|v| v
Então:
3v + 0w + (0,0,0) + raiz3v + 1|v|v + 1|v|v
Simplificando:
(3 + raiz3)v + ( 1|v| + 1|v| )v = (3 + raiz3 + 2|v|)v

Resposta

Portanto, mostramos que:
(Div(v)) v+(Div(w)) w+Rot(v)+|Rot(w)| v+nabla|v|+nabla|w|=(3+raiz3+2|v|) v

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