Sejam e . Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que uma certa combinação de operações vetoriais com os vetores e resulta em uma expressão específica. Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, como divergência, rotacional (ou rot), gradiente (nabla) e módulo de um vetor. Para resolver isso, vamos precisar calcular cada uma dessas operações passo a passo e depois combinar os resultados para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que cada uma dessas operações significa:
  • Divergência ( ): Mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto. Para um vetor , é calculada como:
  • Rotacional ( ou ): Mede a tendência de um campo vetorial de “girar” ao redor de um ponto. Para :
  • Gradiente ( ): Para uma função escalar , o gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento de :
  • Módulo de um vetor ( ): É o comprimento do vetor:
Agora, vamos aplicar essas definições aos vetores e .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de e de .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de e de .
Para :
Para :
O módulo do rotacional de é:

Passo 5

Vamos calcular o gradiente do módulo de e de .
Primeiro, calculamos e .
Para :
Para :
Agora, o gradiente de :
Como , o gradiente de também é:

Passo 6

Agora vamos juntar todas as partes na expressão dada:
Substituindo os valores que calculamos:
Então:
Simplificando:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para .
a)
Valor (2,0 pontos) Verifique se os subconjuntos abaixo sẵo subespaços do espaço fetorial V. Justifique sua resposta
e
Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para .
d)