Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para .
d)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o campo vetorial dado é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial escalar para . O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos verificar se o campo é conservativo usando condições de igualdade das derivadas parciais e, se for o caso, integrar para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se houver uma função escalar tal que . Isso significa que e . Além disso, para verificar se o campo é conservativo, podemos usar a condição .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de conservatividade.

Passo 4

Calculando :
Calculando :
Observamos que , ou seja, .

Passo 5

Como as derivadas parciais são iguais, concluímos que o campo vetorial é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial escalar tal que .

Passo 6

Para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e aparece como constante de integração.

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando em relação a , encontramos :
Onde é uma constante de integração.

Passo 9

Substituindo na expressão de , temos:
Podemos ignorar a constante na função potencial, então:

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e uma função potencial escalar para é:

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Sejam e . Mostre que
Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para .
a)