Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o campo vetorial dado é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial escalar para
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos verificar se o campo é conservativo usando condições de igualdade das derivadas parciais e, se for o caso, integrar para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se houver uma função escalar
tal que
. Isso significa que
e
. Além disso, para verificar se o campo é conservativo, podemos usar a condição
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de conservatividade.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Observamos que
, ou seja,
.
Passo 5
Como as derivadas parciais são iguais, concluímos que o campo vetorial
é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial escalar
tal que
.
Passo 6
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e aparece como constante de integração.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando
em relação a
, encontramos
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 9
Substituindo
na expressão de
, temos:
Podemos ignorar a constante
na função potencial, então:
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial escalar para
é:
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Sejam
e
. Mostre que
Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
a)
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