Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para F.
d) F = (6xy^2 - 3x^2) i + (y^2 + 6x^2y) j

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o campo vetorial dado é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial escalar para F. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos verificar se o campo é conservativo usando condições de igualdade das derivadas parciais e, se for o caso, integrar para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se houver uma função escalar f(x, y) tal que . Isso significa que e . Além disso, para verificar se o campo é conservativo, podemos usar a condição .

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de conservatividade.

Passo 4

Calculando :
Calculando :
Observamos que , ou seja, .

Passo 5

Como as derivadas parciais são iguais, concluímos que o campo vetorial F é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial escalar f(x, y) tal que .

Passo 6

Para encontrar f(x, y), integramos P em relação a x:
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y e aparece como constante de integração.

Passo 7

Agora, derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos a Q para encontrar g(y):
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando em relação a y, encontramos g(y):
Onde C é uma constante de integração.

Passo 9

Substituindo g(y) na expressão de f(x, y), temos:
Podemos ignorar a constante C na função potencial, então:

Resposta

O campo vetorial F é conservativo, e uma função potencial escalar para F é:

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