Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descobrir se o campo vetorial dado é conservativo. Um campo vetorial é conservativo quando existe uma função escalar, chamada função potencial, que quando a gente aplica o gradiente nela retorna o campo vetorial original. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre cálculo vetorial, especialmente conceitos de campos vetoriais, gradiente e condições para um campo ser conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um campo vetorial
ser conservativo, ele precisa satisfazer que sua rotacional seja zero. A rotacional é calculada usando a seguinte fórmula:
Então, vamos calcular cada uma dessas componentes para o nosso campo
.
Passo 3
Vamos identificar
,
e
do nosso campo:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Passo 4
Como todas as componentes da rotacional de
são zero, ou seja,
Isso significa que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial escalar
tal que:
Isso implica que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Passo 6
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
, pois ao derivar em relação a
, ela desaparece.
Passo 7
Agora, vamos usar
para encontrar mais informações sobre
:
Assim,
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Por fim, usamos
para determinar
:
Comparando os termos, percebemos que:
Então,
Mas, aqui notamos que o termo
sugere que há uma inconsistência, já que
deveria depender apenas de
. Isso indica que, na verdade, deveria haver um erro nos passos anteriores. Porém, percebendo isso, vemos que ao integrar
, a função
deve ser constante, já que não há termos que dependem apenas de
. Isso implica que a função potencial encontrada já está completa.
Resposta
A função potencial escalar para o campo vetorial
é:
Onde
é uma constante qualquer.
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é uma base de
e determine as coordenadas de
na
base .
base
Calcule
ao longo da curva
.