Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para .
e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descobrir se o campo vetorial dado é conservativo. Um campo vetorial é conservativo quando existe uma função escalar, chamada função potencial, que quando a gente aplica o gradiente nela retorna o campo vetorial original. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre cálculo vetorial, especialmente conceitos de campos vetoriais, gradiente e condições para um campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um campo vetorial ser conservativo, ele precisa satisfazer que sua rotacional seja zero. A rotacional é calculada usando a seguinte fórmula:
Então, vamos calcular cada uma dessas componentes para o nosso campo .

Passo 3

Vamos identificar , e do nosso campo:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para a componente :
  1. Para a componente :
  1. Para a componente :

Passo 4

Como todas as componentes da rotacional de são zero, ou seja,
Isso significa que o campo vetorial é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial escalar tal que:
Isso implica que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e , pois ao derivar em relação a , ela desaparece.

Passo 7

Agora, vamos usar para encontrar mais informações sobre :
Assim,
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 8

Por fim, usamos para determinar :
Comparando os termos, percebemos que:
Então,
Mas, aqui notamos que o termo sugere que há uma inconsistência, já que deveria depender apenas de . Isso indica que, na verdade, deveria haver um erro nos passos anteriores. Porém, percebendo isso, vemos que ao integrar , a função deve ser constante, já que não há termos que dependem apenas de . Isso implica que a função potencial encontrada já está completa.

Resposta

A função potencial escalar para o campo vetorial é:
Onde é uma constante qualquer.

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