Encontre um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um campo vetorial conservativo a partir da função potencial que foi dada:
Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que é a ferramenta matemática que nos ajuda a transformar uma função escalar em um campo vetorial conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é calculado pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja:
Esse vetor
é justamente o campo vetorial conservativo que estamos procurando.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
,
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Calculando termo a termo:
-
-
-
-
(porque não tem )
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Calculando termo a termo:
-
(porque não tem ) -
-
-
Então:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Como a função
não depende de
, todas as derivadas parciais em relação a
serão zero:
Resposta
Portanto, o campo vetorial conservativo é dado pelo gradiente de
: