Encontre um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada: f(x, y, z) = 2 x^3 - 3 x^2 y + x y^2 - 4 y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um campo vetorial conservativo a partir da função potencial que foi dada:
Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que é a ferramenta matemática que nos ajuda a transformar uma função escalar em um campo vetorial conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é calculado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja:
Esse vetor é justamente o campo vetorial conservativo que estamos procurando.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a , e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Calculando termo a termo:
  • (porque não tem )
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Calculando termo a termo:
  • (porque não tem )
Então:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Como a função não depende de , todas as derivadas parciais em relação a serão zero:

Resposta

Portanto, o campo vetorial conservativo é dado pelo gradiente de :

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