Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
e precisa descobrir se ele é conservativo. Se for, a gente também vai encontrar a função potencial dele. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função
tal que
. Basicamente, isso significa que o campo pode ser derivado de uma função escalar, chamada função potencial.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, vamos usar uma condição importante em duas dimensões. Seja
. O campo é conservativo se e somente se:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a condição é satisfeita. Então, o campo
é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando isso em relação a
:
Onde
é uma função que depende só de
.
Passo 6
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando isso:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo. Sua função potencial é:
Exercícios relacionados
Vamos admitir um objeto com massa
localizado na origem do
. Seja
o vetor posição de um outro objeto de massa
. A Lei de Gravitação de Newton nos dá que a força gravitacional agindo no objeto de massa
em
é
onde
é a constante gravitacional.
Temos que é um campo vetorial tridimensional (campo de forças) chamado de campo gravitacional. Mostre que o campo gravitacional
é conservativo e exiba sua função potencial.
Temos que
Faça um esboço do campo vetorial dado:
.
Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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