Determine se o campo vetorial F é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
F(x, y) = (3x, -1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial e precisa descobrir se ele é conservativo. Se for, a gente também vai encontrar a função potencial dele. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função tal que . Basicamente, isso significa que o campo pode ser derivado de uma função escalar, chamada função potencial.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, vamos usar uma condição importante em duas dimensões. Seja . O campo é conservativo se e somente se:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a condição é satisfeita. Então, o campo é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando isso em relação a :
Onde é uma função que depende só de .

Passo 6

Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando isso:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo. Sua função potencial é:

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