Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também precisamos achar a função potencial dele. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como rotacional e gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular o rotacional de
e verificar se ele é zero. Se for conservativo, vamos integrar as componentes de
para encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional, denotado por
, nos ajuda a verificar se o campo é conservativo. Se o rotacional for zero em todo o domínio, então
é conservativo.
Passo 3
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
-
(pois não há em ) -
(pois não há em ) -
(pois não há em ) -
(pois não há em ) -
-
Passo 4
Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional de
é zero, isso indica que o campo vetorial é conservativo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
depende apenas de
:
Passo 7
Agora, integremos
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Então, a função potencial
é:
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e sua função potencial é:
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