Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também precisamos achar a função potencial dele. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como rotacional e gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular o rotacional de e verificar se ele é zero. Se for conservativo, vamos integrar as componentes de para encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de . O rotacional, denotado por , nos ajuda a verificar se o campo é conservativo. Se o rotacional for zero em todo o domínio, então é conservativo.

Passo 3

A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
  • (pois não há em )
  • (pois não há em )
  • (pois não há em )
  • (pois não há em )

Passo 4

Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional de é zero, isso indica que o campo vetorial é conservativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 6

Integrando em relação a :
Agora, diferenciamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então depende apenas de :

Passo 7

Agora, integremos :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Então, a função potencial é:

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e sua função potencial é:

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