Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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Passo 1

Beleza, a gente vai descobrir se o campo vetorial é conservativo. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se um campo é conservativo e, se for, como encontrar a função potencial correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que . Isso significa que:
Uma condição necessária (e, no caso de domínios simplesmente conexos, suficiente) para que seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a condição é satisfeita. Portanto, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Essa é a função potencial do campo .

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e uma função potencial correspondente é:
onde é uma constante.

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onde é a constante gravitacional.
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Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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