Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Passo 1
Beleza, a gente vai descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se um campo é conservativo e, se for, como encontrar a função potencial correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso significa que:
Uma condição necessária (e, no caso de domínios simplesmente conexos, suficiente) para que
seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a condição é satisfeita. Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Essa é a função potencial do campo
.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial correspondente é:
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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Vamos admitir um objeto com massa
localizado na origem do
. Seja
o vetor posição de um outro objeto de massa
. A Lei de Gravitação de Newton nos dá que a força gravitacional agindo no objeto de massa
em
é
onde
é a constante gravitacional.
Temos que é um campo vetorial tridimensional (campo de forças) chamado de campo gravitacional. Mostre que o campo gravitacional
é conservativo e exiba sua função potencial.
Temos que
Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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