Vamos admitir um objeto com massa M localizado na origem do R^3. Seja X = (x, y, z) o vetor posição de um outro objeto de massa m. A Lei de Gravitação de Newton nos dá que a força gravitacional agindo no objeto de massa m em X = (x, y, z) é
F(X) = -m M G / ||X||^3 * X
onde G é a constante gravitacional.
Temos que F é um campo vetorial tridimensional (campo de forças) chamado de campo gravitacional. Mostre que o campo gravitacional F é conservativo e exiba sua função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto com massa M na origem do espaço 3D e outro objeto com massa m em uma posição . A força gravitacional que age no objeto m é dada pela fórmula:
Aqui, G é a constante gravitacional. Nosso objetivo é mostrar que esse campo de força F é conservativo e encontrar a função potencial associada a ele. Para isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo de força é conservativo se o trabalho feito para mover um objeto entre dois pontos não depende do caminho seguido, ou seja, só depende dos pontos inicial e final. Na matemática, isso significa que o rotacional do campo de força é zero:
Portanto, para mostrar que F é conservativo, vamos calcular o rotacional de F e verificar se ele é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de .
Primeiro, note que é a norma do vetor X. A expressão para F pode ser escrita componentemente como:
Agora, vamos calcular o rotacional nabla vezes F. Lembrando que:
Calculando cada componente:

  1. Usando a regra da cadeia, isso se torna:
  2. Similarmente,
Então, a primeira componente do rotacional é:
Fazendo o mesmo para as outras componentes, percebemos que todas elas serão zero. Portanto:

Passo 4

Como o rotacional de F é zero, concluímos que o campo de força F é conservativo. Isso significa que existe uma função escalar, chamada função potencial , tal que:
Nos próximos passos, vamos encontrar essa função potencial .

Passo 5

Para encontrar a função potencial , precisamos integrar a expressão da força. Sabemos que:
Isso implica que:
A função potencial em coordenadas esféricas para um campo radialmente simétrico como este é conhecida, mas vamos derivar passo a passo.
A integral de em relação a X nos dá:
Como F é conservativo, podemos escolher o potencial que tende a zero no infinito. A integral resulta em:

Resposta

O campo gravitacional F é conservativo e sua função potencial é:

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