Vamos admitir um objeto com massa
localizado na origem do
. Seja
o vetor posição de um outro objeto de massa
. A Lei de Gravitação de Newton nos dá que a força gravitacional agindo no objeto de massa
em
é
onde
é a constante gravitacional.
Temos que
é um campo vetorial tridimensional (campo de forças) chamado de campo gravitacional. Mostre que o campo gravitacional
é conservativo e exiba sua função potencial.
Temos que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto com massa
na origem do espaço 3D e outro objeto com massa
em uma posição
. A força gravitacional que age no objeto
é dada pela fórmula:
Aqui,
é a constante gravitacional. Nosso objetivo é mostrar que esse campo de força
é conservativo e encontrar a função potencial associada a ele. Para isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo de força é conservativo se o trabalho feito para mover um objeto entre dois pontos não depende do caminho seguido, ou seja, só depende dos pontos inicial e final. Na matemática, isso significa que o rotacional do campo de força é zero:
Portanto, para mostrar que
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
e verificar se ele é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
.
Primeiro, note que
é a norma do vetor
. A expressão para
pode ser escrita componentemente como:
Agora, vamos calcular o rotacional
. Lembrando que:
Calculando cada componente:
-
Usando a regra da cadeia, isso se torna: -
Similarmente,
Então, a primeira componente do rotacional é:
Fazendo o mesmo para as outras componentes, percebemos que todas elas serão zero. Portanto:
Passo 4
Como o rotacional de
é zero, concluímos que o campo de força
é conservativo. Isso significa que existe uma função escalar, chamada função potencial
, tal que:
Nos próximos passos, vamos encontrar essa função potencial
.
Passo 5
Para encontrar a função potencial
, precisamos integrar a expressão da força. Sabemos que:
Isso implica que:
A função potencial em coordenadas esféricas para um campo radialmente simétrico como este é conhecida, mas vamos derivar passo a passo.
A integral de
em relação a
nos dá:
Como
é conservativo, podemos escolher o potencial que tende a zero no infinito. A integral resulta em:
Resposta
O campo gravitacional
é conservativo e sua função potencial é:
Exercícios relacionados
Faça um esboço do campo vetorial dado:
.
Faça um esboço do campo vetorial dado:
.
Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.