Vamos admitir um objeto com massa localizado na origem do . Seja o vetor posição de um outro objeto de massa . A Lei de Gravitação de Newton nos dá que a força gravitacional agindo no objeto de massa em é
onde é a constante gravitacional.
Temos que é um campo vetorial tridimensional (campo de forças) chamado de campo gravitacional. Mostre que o campo gravitacional é conservativo e exiba sua função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto com massa na origem do espaço 3D e outro objeto com massa em uma posição . A força gravitacional que age no objeto é dada pela fórmula:
Aqui, é a constante gravitacional. Nosso objetivo é mostrar que esse campo de força é conservativo e encontrar a função potencial associada a ele. Para isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo de força é conservativo se o trabalho feito para mover um objeto entre dois pontos não depende do caminho seguido, ou seja, só depende dos pontos inicial e final. Na matemática, isso significa que o rotacional do campo de força é zero:
Portanto, para mostrar que é conservativo, vamos calcular o rotacional de e verificar se ele é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de .
Primeiro, note que é a norma do vetor . A expressão para pode ser escrita componentemente como:
Agora, vamos calcular o rotacional . Lembrando que:
Calculando cada componente:

  1. Usando a regra da cadeia, isso se torna:
  2. Similarmente,
Então, a primeira componente do rotacional é:
Fazendo o mesmo para as outras componentes, percebemos que todas elas serão zero. Portanto:

Passo 4

Como o rotacional de é zero, concluímos que o campo de força é conservativo. Isso significa que existe uma função escalar, chamada função potencial , tal que:
Nos próximos passos, vamos encontrar essa função potencial .

Passo 5

Para encontrar a função potencial , precisamos integrar a expressão da força. Sabemos que:
Isso implica que:
A função potencial em coordenadas esféricas para um campo radialmente simétrico como este é conhecida, mas vamos derivar passo a passo.
A integral de em relação a nos dá:
Como é conservativo, podemos escolher o potencial que tende a zero no infinito. A integral resulta em:

Resposta

O campo gravitacional é conservativo e sua função potencial é:

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Faça um esboço do campo vetorial dado:
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Faça um esboço do campo vetorial dado:
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Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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