Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também encontraremos sua função potencial. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função tal que , ou seja, é o gradiente de . Isso implica que o campo não depende do caminho escolhido para ir de um ponto a outro, apenas da posição inicial e final.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, usamos um critério importante em duas dimensões: um campo vetorial é conservativo se e somente se . Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Observamos que e . Como essas derivadas são iguais, o campo vetorial é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar sua função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Para determinar , usamos a segunda componente do gradiente:
Calculando a derivada de em relação a :
Comparando, temos:
Integrando, . Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e sua função potencial é
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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial tridimensional .
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