Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também encontraremos sua função potencial. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função
tal que
, ou seja,
é o gradiente de
. Isso implica que o campo não depende do caminho escolhido para ir de um ponto a outro, apenas da posição inicial e final.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, usamos um critério importante em duas dimensões: um campo vetorial
é conservativo se e somente se
. Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Observamos que
e
. Como essas derivadas são iguais, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar sua função potencial
. Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Para determinar
, usamos a segunda componente do gradiente:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Comparando, temos:
Integrando,
. Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e sua função potencial é
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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial tridimensional
.
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