Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também precisamos encontrar a função potencial dele. O campo vetorial dado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e como verificar essa propriedade usando cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que:
Ou seja,
é o gradiente de alguma função
. Uma propriedade importante de campos conservativos é que o rotacional de
deve ser zero:
Então, vamos calcular o rotacional de
para verificar se ele é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Onde
.
Passo 4
Calculando cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
Então:
- Segunda componente:
Então:
- Terceira componente:
Então:
Passo 5
Como todas as componentes do rotacional de
são zero:
Isso significa que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Isso implica:
Vamos integrar cada equação para encontrar
.
Passo 7
Integrando a primeira equação em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda equação:
Isso implica que:
Então,
não depende de
, ou seja,
.
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à terceira equação:
Isso implica que:
Integrando:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 10
Substituindo
de volta na expressão de
:
Podemos ignorar a constante
para a função potencial, então:
Resposta
O campo vetorial
é conservativo e sua função potencial é:
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.
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