Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, também precisamos encontrar a função potencial dele. O campo vetorial dado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e como verificar essa propriedade usando cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que:
Ou seja, é o gradiente de alguma função . Uma propriedade importante de campos conservativos é que o rotacional de deve ser zero:
Então, vamos calcular o rotacional de para verificar se ele é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Onde .

Passo 4

Calculando cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
Então:
  1. Segunda componente:
Então:
  1. Terceira componente:
Então:

Passo 5

Como todas as componentes do rotacional de são zero:
Isso significa que o campo vetorial é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Isso implica:
Vamos integrar cada equação para encontrar .

Passo 7

Integrando a primeira equação em relação a :
Onde é uma função arbitrária de e .

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda equação:
Isso implica que:
Então, não depende de , ou seja, .

Passo 9

Agora, derivamos em relação a e igualamos à terceira equação:
Isso implica que:
Integrando:
Onde é uma constante de integração.

Passo 10

Substituindo de volta na expressão de :
Podemos ignorar a constante para a função potencial, então:

Resposta

O campo vetorial é conservativo e sua função potencial é:

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Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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