Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial tridimensional
.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar o rotacional e o divergente de um campo vetorial tridimensional
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, onde a gente estuda como analisar e interpretar campos que têm direção e magnitude em cada ponto do espaço. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o divergente e o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de
. O divergente é uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Para um campo vetorial
, o divergente é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo
.
Passo 3
Calculando cada derivada parcial:
-
-
(porque não depende de ) -
(porque não depende de )
Passo 4
Agora, somando essas derivadas:
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de circular em torno de um ponto. Para um campo vetorial
, o rotacional é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo
.
Passo 6
Calculando cada componente do rotacional:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Passo 7
Então, juntando as componentes, o rotacional de
é:
Resposta
O divergente de
é
e o rotacional de
é
.
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