Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial tridimensional .
.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar o rotacional e o divergente de um campo vetorial tridimensional . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, onde a gente estuda como analisar e interpretar campos que têm direção e magnitude em cada ponto do espaço. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o divergente e o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de . O divergente é uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Para um campo vetorial , o divergente é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo .

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  1. (porque não depende de )
  2. (porque não depende de )

Passo 4

Agora, somando essas derivadas:

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional mede a tendência do campo vetorial de circular em torno de um ponto. Para um campo vetorial , o rotacional é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo .

Passo 6

Calculando cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:

Passo 7

Então, juntando as componentes, o rotacional de é:

Resposta

O divergente de é e o rotacional de é .

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