Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que pede para determinar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial conservativo é aquele que possui uma função potencial. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função tal que . Isso implica que as derivadas parciais de devem satisfazer:
Para que isso seja possível, uma condição necessária é que as derivadas cruzadas de e sejam iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de e .
Primeiro, . Então,
Segundo, . Então,

Passo 4

Agora, comparamos as derivadas parciais:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todo e . No entanto, é igual a apenas se ou , o que não é verdade para todos os pontos no plano.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, pois não satisfaz a condição em todos os pontos.

Exercícios relacionados

Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial tridimensional .
.
Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.