Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para determinar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial conservativo é aquele que possui uma função potencial. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função
tal que
. Isso implica que as derivadas parciais de
devem satisfazer:
Para que isso seja possível, uma condição necessária é que as derivadas cruzadas de
e
sejam iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
.
Primeiro,
. Então,
Segundo,
. Então,
Passo 4
Agora, comparamos as derivadas parciais:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todo
e
. No entanto,
é igual a
apenas se
ou
, o que não é verdade para todos os pontos no plano.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo, pois não satisfaz a condição
em todos os pontos.
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.
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é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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