Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, temos que encontrar a função potencial desse campo. Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como identificar se um campo dado é conservativo ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que:
Isso significa que pode ser obtido a partir do gradiente de alguma função , que chamamos de função potencial.

Passo 3

Uma propriedade importante dos campos conservativos é que eles são irrotacionais, ou seja, o rotacional de deve ser zero:
Vamos calcular o rotacional de para verificar essa condição.

Passo 4

Dado , vamos calcular . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Calculando cada componente:
Assim, o rotacional é:
Como o rotacional de é zero, o campo é irrotacional.

Passo 5

Agora que sabemos que é irrotacional, precisamos verificar se o domínio do campo é simplesmente conexo para concluir que é conservativo. Simply connected significa que o domínio não tem “buracos”. Neste caso, está definido em todo o espaço , que é simplesmente conectado. Portanto, é um campo conservativo.

Passo 6

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando cada componente de .
Primeiro, integremos em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
Agora, nossa função potencial está:
Por fim, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo. A função potencial correspondente é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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A força elétrica exercida por uma carga elétrica colocada na origem do sobre uma carga localizada no ponto com vetor posição é
onde é uma constante.
Temos que é um campo vetorial tridimensional (campo de forças).
Frequentemente, em vez de considerar o campo de força elétrica , os físicos consideram o campo vetorial
Temos que é um campo vetorial tridimensional chamado de campo elétrico de .
Mostre que o campo elétrico é conservativo e exiba sua função potencial.
Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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