Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, temos que encontrar a função potencial desse campo. Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como identificar se um campo dado é conservativo ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escalar
tal que:
Isso significa que
pode ser obtido a partir do gradiente de alguma função
, que chamamos de função potencial.
Passo 3
Uma propriedade importante dos campos conservativos é que eles são irrotacionais, ou seja, o rotacional de
deve ser zero:
Vamos calcular o rotacional de
para verificar essa condição.
Passo 4
Dado
, vamos calcular
. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Calculando cada componente:
Assim, o rotacional é:
Como o rotacional de
é zero, o campo é irrotacional.
Passo 5
Agora que sabemos que
é irrotacional, precisamos verificar se o domínio do campo é simplesmente conexo para concluir que
é conservativo. Simply connected significa que o domínio não tem “buracos”. Neste caso,
está definido em todo o espaço
, que é simplesmente conectado. Portanto,
é um campo conservativo.
Passo 6
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando cada componente de
.
Primeiro, integremos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
em relação a
:
Agora, nossa função potencial está:
Por fim, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo. A função potencial correspondente é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
A força elétrica exercida por uma carga elétrica
colocada na origem do
sobre uma carga
localizada no ponto
com vetor posição
é
onde
é uma constante.
Temos que é um campo vetorial tridimensional (campo de forças).
Frequentemente, em vez de considerar o campo de força elétrica , os físicos consideram o campo vetorial
Temos que
Frequentemente, em vez de considerar o campo de força elétrica
Temos que
é um campo vetorial tridimensional chamado de campo elétrico de
.
Mostre que o campo elétrico é conservativo e exiba sua função potencial.
Mostre que o campo elétrico
Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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