Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também vai encontrar a função potencial dele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar, chamada função potencial, cuja derivada é o campo vetorial. Em outras palavras, , onde é a função potencial.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, vamos usar uma condição importante para campos em duas dimensões. Se , então é conservativo se e somente se:
Vamos calcular essas derivadas parciais para o nosso .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Agora, comparamos:
Como , a condição não é satisfeita.

Resposta

Como , o campo vetorial não é conservativo.

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Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial tridimensional .
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Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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A força elétrica exercida por uma carga elétrica colocada na origem do sobre uma carga localizada no ponto com vetor posição é
onde é uma constante.
Temos que é um campo vetorial tridimensional (campo de forças).
Frequentemente, em vez de considerar o campo de força elétrica , os físicos consideram o campo vetorial
Temos que é um campo vetorial tridimensional chamado de campo elétrico de .
Mostre que o campo elétrico é conservativo e exiba sua função potencial.