Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também vai encontrar a função potencial dele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar, chamada função potencial, cuja derivada é o campo vetorial. Em outras palavras,
, onde
é a função potencial.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, vamos usar uma condição importante para campos em duas dimensões. Se
, então
é conservativo se e somente se:
Vamos calcular essas derivadas parciais para o nosso
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Agora, comparamos:
Como
, a condição não é satisfeita.
Resposta
Como
, o campo vetorial
não é conservativo.
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Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial tridimensional
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Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
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A força elétrica exercida por uma carga elétrica
colocada na origem do
sobre uma carga
localizada no ponto
com vetor posição
é
onde
é uma constante.
Temos que é um campo vetorial tridimensional (campo de forças).
Frequentemente, em vez de considerar o campo de força elétrica , os físicos consideram o campo vetorial
Temos que
Frequentemente, em vez de considerar o campo de força elétrica
Temos que
é um campo vetorial tridimensional chamado de campo elétrico de
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Mostre que o campo elétrico é conservativo e exiba sua função potencial.
Mostre que o campo elétrico