A força elétrica exercida por uma carga elétrica
colocada na origem do
sobre uma carga
localizada no ponto
com vetor posição
é
onde
é uma constante.
Temos que
é um campo vetorial tridimensional (campo de forças).
Frequentemente, em vez de considerar o campo de força elétrica
, os físicos consideram o campo vetorial
Temos que
é um campo vetorial tridimensional chamado de campo elétrico de
.
Mostre que o campo elétrico
é conservativo e exiba sua função potencial.
Temos que
Frequentemente, em vez de considerar o campo de força elétrica
Mostre que o campo elétrico
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o campo elétrico
dado é conservativo e encontrar sua função potencial. Isso está dentro do assunto de cálculo vetorial, mais especificamente em campos vetoriais e potenciais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como encontrar uma função potencial para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, chamada de função potencial. Isso significa que existe uma função
tal que:
Além disso, um campo é conservativo se seu rotacional (ou seja, o
) for igual a zero em toda a região considerada. O rotacional nos ajuda a verificar se o campo tem alguma “circularidade” ou não.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo elétrico
para verificar se ele é conservativo. Dado:
onde
e
é a norma de
, ou seja,
.
O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente.
Passo 4
Primeiro, calculemos as derivadas parciais necessárias:
Agora, calculamos as derivadas:
Como as derivadas cruzadas se anulam, temos que:
Passo 5
Como o rotacional de
é zero, isso confirma que o campo elétrico é conservativo. Agora, vamos encontrar a fun��ão potencial
tal que:
Para isso, vamos integrar o campo elétrico. Observamos que
depende apenas da distância
, então é um campo radial. Nesse caso, a função potencial geralmente envolve o inverso da distância.
Passo 6
Vamos supor que
tem a forma:
onde
é uma constante que precisamos determinar.
Calculando o gradiente de
:
Comparando com a expressão de
:
Isso nos dá que:
Resposta
O campo elétrico
é conservativo e sua função potencial é
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Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
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é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado:
.