A força elétrica exercida por uma carga elétrica Q colocada na origem do R^3 sobre uma carga q localizada no ponto (x, y, z) com vetor posição X = (x, y, z) é
F(X) = (epsilon * q * Q) / ||X||^3 * X
onde epsilon é uma constante.
Temos que F é um campo vetorial tridimensional (campo de forças).
Frequentemente, em vez de considerar o campo de força elétrica F, os físicos consideram o campo vetorial
E(X) = (1/q) F(X) = (εQ / ||X||^3) X
Temos que E é um campo vetorial tridimensional chamado de campo elétrico de Q.
Mostre que o campo elétrico E é conservativo e exiba sua função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o campo elétrico dado é conservativo e encontrar sua função potencial. Isso está dentro do assunto de cálculo vetorial, mais especificamente em campos vetoriais e potenciais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como encontrar uma função potencial para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, chamada de função potencial. Isso significa que existe uma função tal que:
Além disso, um campo é conservativo se seu rotacional (ou seja, o ) for igual a zero em toda a região considerada. O rotacional nos ajuda a verificar se o campo tem alguma “circularidade” ou não.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo elétrico para verificar se ele é conservativo. Dado:
onde e é a norma de , ou seja, .
O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente.

Passo 4

Primeiro, calculemos as derivadas parciais necessárias:
Agora, calculamos as derivadas:
Como as derivadas cruzadas se anulam, temos que:

Passo 5

Como o rotacional de é zero, isso confirma que o campo elétrico é conservativo. Agora, vamos encontrar a fun��ão potencial tal que:
Para isso, vamos integrar o campo elétrico. Observamos que depende apenas da distância , então é um campo radial. Nesse caso, a função potencial geralmente envolve o inverso da distância.

Passo 6

Vamos supor que tem a forma:
onde é uma constante que precisamos determinar.
Calculando o gradiente de :
Comparando com a expressão de :
Isso nos dá que:

Resposta

O campo elétrico é conservativo e sua função potencial é

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