Determine o campo vetorial gradiente de f .
a. f(x, y) = ln(x + 2y)
b. f(x, y) = x^α e^(-β x)
c. f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2)
d. f(x, y, z) = x * cos(y / z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira parte do exercício! Aqui, a gente precisa determinar o campo vetorial gradiente da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre gradientes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos para a parte b do exerc��cio: determinar o campo vetorial gradiente da função . Estamos ainda no conteúdo de cálculo vetorial, trabalhando com gradientes. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 6

Lembrando que o gradiente de é dado pelas derivadas parciais em relação a e .

Passo 7

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aplicando a regra do produto:

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Como não depende de , a derivada será zero:

Passo 9

Vamos para a parte c: determinar o campo vetorial gradiente da função . Continuamos no estudo de gradientes em cálculo vetorial. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 10

Lembrando que o gradiente de é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 11

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 12

De forma similar, calculamos as derivadas parciais em relação a e :

Passo 13

Finalmente, vamos resolver a parte d: determinar o campo vetorial gradiente da função . Continuamos com gradientes em cálculo vetorial, calculando agora as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 14

Lembrando que o gradiente de é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 15

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 16

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 17

Por fim, a derivada parcial de em relação a :

Resposta

Portanto, o campo vetorial gradiente de é:

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