Determine o campo vetorial gradiente de f .
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a primeira parte do exercício! Aqui, a gente precisa determinar o campo vetorial gradiente da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre gradientes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b do exerc��cio: determinar o campo vetorial gradiente da função
. Estamos ainda no conteúdo de cálculo vetorial, trabalhando com gradientes. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 6
Lembrando que o gradiente de
é dado pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 7
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Como
não depende de
, a derivada será zero:
Passo 9
Vamos para a parte c: determinar o campo vetorial gradiente da função
. Continuamos no estudo de gradientes em cálculo vetorial. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 10
Lembrando que o gradiente de
é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Passo 11
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 12
De forma similar, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 13
Finalmente, vamos resolver a parte d: determinar o campo vetorial gradiente da função
. Continuamos com gradientes em cálculo vetorial, calculando agora as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 14
Lembrando que o gradiente de
é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Passo 15
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 16
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 17
Por fim, a derivada parcial de
em relação a
:
Resposta
Portanto, o campo vetorial gradiente de
é:
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
em
.
Esboce o campo vetorial
, desenhando um diagrama de flechas.
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.