Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Vamos analisar o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . A função que estamos lidando é:
Aqui, estamos trabalhando com limites em várias variáveis, um tópico importante no cálculo multivariável. Precisamos descobrir se esse limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos diretamente e na função:
Obtemos uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos investigar mais a fundo para determinar o limite.

Passo 3

Uma estratégia comum quando encontramos uma indeterminação é simplificar a expressão. Vamos tentar fatorar o numerador:
O denominador é:
Não parece haver uma fatoração direta que simplifique a expressão, então vamos tentar outra abordagem: avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos.

Passo 4

Vamos analisar o limite ao longo de dois caminhos diferentes e ver se obtemos o mesmo resultado em ambos.
Primeiro Caminho: Fixar e deixar se aproximar de .
Substituindo na função:
Portanto, ao longo desse caminho, o limite é .
Segundo Caminho: Fixar e deixar se aproximar de .
Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando :
Então, ao longo desse segundo caminho, o limite é .

Passo 5

Observamos que ao calcular o limite por dois caminhos diferentes, obtivemos resultados diferentes: e . Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar do ponto .

Resposta

Como os limites ao longo de caminhos diferentes resultam em valores distintos ( e ), concluímos que o limite não existe.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o campo vetorial gradiente de f .
a.
b.
c.
d.
Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados: em .