Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (1,-1) x+y^2-2x+y

Passo 1

Vamos analisar o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (1, -1). A função que estamos lidando é:
lim (x, y) (1,-1) x + y^2 - 2x + y
Aqui, estamos trabalhando com limites em várias variáveis, um tópico importante no cálculo multivariável. Precisamos descobrir se esse limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos diretamente x = 1 e y = -1 na função:
1 + (-1)^2 - 21 + (-1) = 1 + 1 - 21 - 1 = 00
Obtemos uma indeterminação do tipo 00, o que significa que precisamos investigar mais a fundo para determinar o limite.

Passo 3

Uma estratégia comum quando encontramos uma indeterminação é simplificar a expressão. Vamos tentar fatorar o numerador:
x + y^2 - 2 = x - 2 + y^2
O denominador é:
x + y
Não parece haver uma fatoração direta que simplifique a expressão, então vamos tentar outra abordagem: avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos.

Passo 4

Vamos analisar o limite ao longo de dois caminhos diferentes e ver se obtemos o mesmo resultado em ambos.
Primeiro Caminho: Fixar y = -1 e deixar x se aproximar de 1.
Substituindo y = -1 na função:
x + (-1)^2 - 2x + (-1) = x + 1 - 2x - 1 = x - 1x - 1 = 1 (x neq 1)
Portanto, ao longo desse caminho, o limite é 1.
Segundo Caminho: Fixar x = 1 e deixar y se aproximar de -1.
Substituindo x = 1 na função:
1 + y^2 - 21 + y = y^2 - 1y + 1 = (y - 1)(y + 1)y + 1 = y - 1 (y neq -1)
Agora, calculando o limite quando y -1:
limy to -1 (y - 1) = -1 - 1 = -2
Então, ao longo desse segundo caminho, o limite é -2.

Passo 5

Observamos que ao calcular o limite por dois caminhos diferentes, obtivemos resultados diferentes: 1 e -2. Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar do ponto (1, -1).

Resposta

Como os limites ao longo de caminhos diferentes resultam em valores distintos ( 1 e -2), concluímos que o limite não existe.

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