Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos analisar o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A função que estamos lidando é:
Aqui, estamos trabalhando com limites em várias variáveis, um tópico importante no cálculo multivariável. Precisamos descobrir se esse limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos diretamente
e
na função:
Obtemos uma indeterminação do tipo
, o que significa que precisamos investigar mais a fundo para determinar o limite.
Passo 3
Uma estratégia comum quando encontramos uma indeterminação é simplificar a expressão. Vamos tentar fatorar o numerador:
O denominador é:
Não parece haver uma fatoração direta que simplifique a expressão, então vamos tentar outra abordagem: avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos.
Passo 4
Vamos analisar o limite ao longo de dois caminhos diferentes e ver se obtemos o mesmo resultado em ambos.
Primeiro Caminho: Fixar
e deixar
se aproximar de
.
Substituindo
na função:
Portanto, ao longo desse caminho, o limite é
.
Segundo Caminho: Fixar
e deixar
se aproximar de
.
Substituindo
na função:
Agora, calculando o limite quando
:
Então, ao longo desse segundo caminho, o limite é
.
Passo 5
Observamos que ao calcular o limite por dois caminhos diferentes, obtivemos resultados diferentes:
e
. Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar do ponto
.
Resposta
Como os limites ao longo de caminhos diferentes resultam em valores distintos (
e
), concluímos que o limite não existe.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Determine o campo vetorial gradiente de f .
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
em
.