Determine o campo vetorial gradiente de f.
f(x, y)=ln (x+2 y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos determinar o campo vetorial gradiente da função . Isso pertence à matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre gradientes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 2

O gradiente de uma função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) é um vetor que contém suas derivadas parciais em relação a cada variável. Matemáticamente, é representado como:
Isso significa que vamos calcular cada derivada parcial separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ln(x + 2y) em relação a partial fpartial x = 1x + 2y cdot 1 = 1x + 2y :
Sabemos que a derivada de em relação a é , e multiplicamos pela derivada de em relação a . Aqui, , e . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y ln(x + 2y) em relação a partial fpartial y = 1x + 2y cdot 2 = 2x + 2y :
Aplicando a mesma regra, a derivada de é , e multiplicamos pela derivada de em relação a . Aqui, . Então:

Resposta

Então, o campo vetorial gradiente de nabla f = ( 1x + 2y, 2x + 2y ) é:

Exercícios relacionados

Ache a equação da assíntota oblíqua. Não desenhe a curva.
ll a) y=x^2+1x+1
Encontre o limite ou mostre que ele n ao existe.
lim x infty arctg(e^x).
(3,0 pontos) Calcule a integral tripla integral triplaE x d V, onde E é limitado pelo paraboloide x=4 y^2+4 z^2 e pelo plano x=4.
integral(a x^2+b x+c) d x