Determine o campo vetorial gradiente de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos determinar o campo vetorial gradiente da função
. Isso pertence à matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre gradientes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 2
O gradiente de uma função
é um vetor que contém suas derivadas parciais em relação a cada variável. Matemáticamente, é representado como:
Isso significa que vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
. Aqui,
, e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a mesma regra, a derivada de
é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
. Aqui,
. Então:
Resposta
Então, o campo vetorial gradiente de
é:
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Encontre o limite ou mostre que ele n ao existe.
.
(3,0 pontos) Calcule a integral tripla
, onde E é limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.