(3,0 pontos) Calcule a integral tripla
, onde E é limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde a região
é limitada pelo paraboloide
e pelo plano
. Para isso, vamos usar cálculo integral e coordenadas cilíndricas, que são bem úteis para regiões com simetria circular, como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
que estamos integrando. O paraboloide
abre no sentido do eixo
, e o plano
corta esse paraboloide. Então, a região
é o espaço entre esse paraboloide e o plano.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
- O elemento de volume
vira
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração:
-
varia de a porque estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo . -
varia de até o valor onde o paraboloide atinge o plano . Substituindo na equação do paraboloide: Então, varia de a . -
varia do paraboloide até o plano, ou seja, de até .
Passo 5
Agora, vamos escrever a integral tripla nas coordenadas cilíndricas:
Aqui, multiplicamos por
porque estamos em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em relação a
:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
A integral tripla vale
.
Exercícios relacionados
Determine o campo vetorial gradiente de
.
Ache a equação da assíntota oblíqua. Não desenhe a curva.
Encontre a integral indefinida geral.