(3,0 pontos) Calcule a integral tripla integral triplaE x d V, onde E é limitado pelo paraboloide x=4 y^2+4 z^2 e pelo plano x=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE x , dV, onde a região E é limitada pelo paraboloide x = 4y^2 + 4z^2 e pelo plano x = 4. Para isso, vamos usar cálculo integral e coordenadas cilíndricas, que são bem úteis para regiões com simetria circular, como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região E que estamos integrando. O paraboloide x = 4y^2 + 4z^2 abre no sentido do eixo x, e o plano x = 4 corta esse paraboloide. Então, a região E é o espaço entre esse paraboloide e o plano.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • y = r cos theta
  • z = r sin theta
  • x = x
  • O elemento de volume dV vira r , dx , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • theta varia de 0 a 2pi porque estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo x.
  • r varia de 0 até o valor onde o paraboloide atinge o plano x = 4. Substituindo x = 4 na equação do paraboloide: 4 = 4r^2 implies r^2 = 1 implies r = 1 Então, r varia de 0 a 1.
  • x varia do paraboloide até o plano, ou seja, de 4r^2 até 4.

Passo 5

Agora, vamos escrever a integral tripla nas coordenadas cilíndricas:
integral triplaE x , dV = integral0^2pi integral0^1 integral4r^2^4 x cdot r , dx , dr , dtheta
Aqui, multiplicamos por r porque estamos em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a x primeiro:
integral4r^2^4 x , dx = [ 12x^2 ]4r^2^4 = 12(16) - 12(16r^4) = 8(1 - r^4)

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em relação a r:
integral0^1 8(1 - r^4) cdot r , dr = 8 integral0^1 (r - r^5) , dr = 8 [ 12r^2 - 16r^6 ]0^1 = 8 ( 12 - 16 ) = 8 cdot 13 = 83

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 83 , dtheta = 83 cdot 2pi = 16pi3

Resposta

A integral tripla vale dfrac16,pi3.

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