Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
integral0^infty 1x(1+ln ^2) d x

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: precisamos descobrir se a integral
integral0^infty 1x(1+ln^2x) , dx
vai divergir ou convergir. Se ela convergir, também vamos calcular o valor da integral. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias devido aos limites de integração que vão de 0 a infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com integrais que têm limites infinitos e como analisar o comportamento da função dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função integranda, que é 1x(1+ln^2x). Observamos que temos uma função que envolve o logaritmo natural, ln x, ao quadrado. Isso nos dá uma pista sobre o tipo de substituição que podemos usar para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja u = ln x. Então, a derivada de u em relação a x é:
du = 1x dx Rightarrow dx = x , du
Mas como u = ln x, podemos reescrever x em termos de u:
x = e^u
Substituindo dx e x na integral original, temos:
integral 1e^u(1 + u^2) cdot e^u , du = integral 11 + u^2 , du

Passo 4

Agora, a integral ficou muito mais simples:
integral 11 + u^2 , du
Essa é uma integral padrão que conhecemos. A antiderivada de 11 + u^2 é arctan u. Então, temos:
arctan u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Mas precisamos lembrar que fizemos uma substituição: u = ln x. Então, substituindo de volta, a antiderivada em termos de x é:
arctan(ln x) + C

Passo 6

Agora, vamos voltar aos limites de integração originais, que são de 0 a infty. Isso significa que precisamos avaliar o limite da antiderivada quando x se aproxima de 0 e quando x se aproxima de infty.
Primeiro, vamos considerar o limite quando x to infty:
limx to infty arctan(ln x)
Como x to infty, ln x to infty, e sabemos que arctan(infty) = pi2.
Agora, para o limite quando x to 0:
limx to 0^+ arctan(ln x)
Quando x to 0^+, ln x to -infty, e arctan(-infty) = -pi2.

Passo 7

Agora, calculamos a diferença desses limites para obter o valor da integral:
[ arctan(ln x) ]0^infty = pi2 - ( -pi2 ) = pi2 + pi2 = pi

Resposta

A integral converge e o seu valor é pi.

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