Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: precisamos descobrir se a integral
vai divergir ou convergir. Se ela convergir, também vamos calcular o valor da integral. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias devido aos limites de integração que vão de 0 a infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com integrais que têm limites infinitos e como analisar o comportamento da função dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função integranda, que é
. Observamos que temos uma função que envolve o logaritmo natural,
, ao quadrado. Isso nos dá uma pista sobre o tipo de substituição que podemos usar para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas como
, podemos reescrever
em termos de
:
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 4
Agora, a integral ficou muito mais simples:
Essa é uma integral padrão que conhecemos. A antiderivada de
é
. Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Mas precisamos lembrar que fizemos uma substituição:
. Então, substituindo de volta, a antiderivada em termos de
é:
Passo 6
Agora, vamos voltar aos limites de integração originais, que são de
a
. Isso significa que precisamos avaliar o limite da antiderivada quando
se aproxima de
e quando
se aproxima de
.
Primeiro, vamos considerar o limite quando
:
Como
,
, e sabemos que
.
Agora, para o limite quando
:
Quando
,
, e
.
Passo 7
Agora, calculamos a diferença desses limites para obter o valor da integral:
Resposta
A integral converge e o seu valor é
.
Exercícios relacionados
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Usando a definição mostre que:
.
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Determine o campo vetorial gradiente de
.
.