Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: precisamos descobrir se a integral
vai divergir ou convergir. Se ela convergir, também vamos calcular o valor da integral. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias devido aos limites de integração que vão de 0 a infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com integrais que têm limites infinitos e como analisar o comportamento da função dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função integranda, que é . Observamos que temos uma função que envolve o logaritmo natural, , ao quadrado. Isso nos dá uma pista sobre o tipo de substituição que podemos usar para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Mas como , podemos reescrever em termos de :
Substituindo e na integral original, temos:

Passo 4

Agora, a integral ficou muito mais simples:
Essa é uma integral padrão que conhecemos. A antiderivada de é . Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Mas precisamos lembrar que fizemos uma substituição: . Então, substituindo de volta, a antiderivada em termos de é:

Passo 6

Agora, vamos voltar aos limites de integração originais, que são de a . Isso significa que precisamos avaliar o limite da antiderivada quando se aproxima de e quando se aproxima de .
Primeiro, vamos considerar o limite quando :
Como , , e sabemos que .
Agora, para o limite quando :
Quando , , e .

Passo 7

Agora, calculamos a diferença desses limites para obter o valor da integral:

Resposta

A integral converge e o seu valor é .

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Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Usando a definição mostre que: .
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Determine o campo vetorial gradiente de . .