Determine o campo vetorial gradiente de f .
c.

Passo 1

Vamos resumir a questão. Nós temos uma função escalar , e a tarefa é encontrar o campo vetorial gradiente dessa função. O conteúdo que estamos abordando aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente, que basicamente nos diz a direção e a taxa de maior crescimento de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais da função.

Passo 2

Para encontrar o gradiente da função , vamos calcular as derivadas parciais em relação a cada variável: , e . O gradiente é um vetor que aponta na direção do aumento máximo da função.
A fórmula do gradiente é dada por:
Então, vamos calcular cada uma das derivadas parciais.

Passo 3

  1. Calculando :
    Vamos usar a regra da cadeia para derivar. A derivada de em relação a é:
  2. Calculando :
    Agora, derivamos em relação a :
  3. Calculando :
    Por fim, vamos derivar em relação a :
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente.

Passo 4

Juntando tudo isso, o gradiente $ \nabla f $ é dado por:
Isso significa que o campo vetorial gradiente de nos dá um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente.

Resposta

O campo vetorial gradiente de é:

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Calcule :
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Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma para :
Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .