Determine o campo vetorial gradiente de f .
c. f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2

Passo 1

Vamos resumir a questão. Nós temos uma função escalar f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2, e a tarefa é encontrar o campo vetorial gradiente dessa função. O conteúdo que estamos abordando aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente, que basicamente nos diz a direção e a taxa de maior crescimento de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais da função.

Passo 2

Para encontrar o gradiente da função f, vamos calcular as derivadas parciais em relação a cada variável: x, y e z. O gradiente é um vetor que aponta na direção do aumento máximo da função.
A fórmula do gradiente é dada por:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Então, vamos calcular cada uma das derivadas parciais.

Passo 3

  1. Calculando partial fpartial x:
    f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2
    Vamos usar a regra da cadeia para derivar. A derivada de f em relação a x é:
    partial fpartial x = 12 (x^2 + y^2 + z^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 + y^2 + z^2
  2. Calculando partial fpartial y:
    Agora, derivamos em relação a y:
    partial fpartial y = 12 (x^2 + y^2 + z^2)^-1/2 cdot 2y = yraizx^2 + y^2 + z^2
  3. Calculando partial fpartial z:
    Por fim, vamos derivar em relação a z:
    partial fpartial z = 12 (x^2 + y^2 + z^2)^-1/2 cdot 2z = zraizx^2 + y^2 + z^2
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente.

Passo 4

Juntando tudo isso, o gradiente $ \nabla f $ é dado por:
nabla f
Isso significa que o campo vetorial gradiente de nabla f = ( xraizx^2 + y^2 + z^2, yraizx^2 + y^2 + z^2, zraizx^2 + y^2 + z^2 ) nos dá um vetor que aponta na direção em que a função f cresce mais rapidamente.

Resposta

O campo vetorial gradiente de f é:
nabla f = ( xraizx^2 + y^2 + z^2, yraizx^2 + y^2 + z^2, zraizx^2 + y^2 + z^2 )

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