Determine o campo vetorial gradiente de f .
c.
c.
Passo 1
Vamos resumir a questão. Nós temos uma função escalar
, e a tarefa é encontrar o campo vetorial gradiente dessa função. O conteúdo que estamos abordando aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente, que basicamente nos diz a direção e a taxa de maior crescimento de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais da função.
Passo 2
Para encontrar o gradiente da função
, vamos calcular as derivadas parciais em relação a cada variável:
,
e
. O gradiente é um vetor que aponta na direção do aumento máximo da função.
A fórmula do gradiente é dada por:
Então, vamos calcular cada uma das derivadas parciais.
Passo 3
-
Calculando
: Vamos usar a regra da cadeia para derivar. A derivada deem relação a é: -
Calculando
:
Agora, derivamos em relação a: -
Calculando
:
Por fim, vamos derivar em relação a:
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente.
Passo 4
Juntando tudo isso, o gradiente $ \nabla f $ é dado por:
Isso significa que o campo vetorial gradiente de
nos dá um vetor que aponta na direção em que a função
cresce mais rapidamente.
Resposta
O campo vetorial gradiente de
é:
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Calcule
:
©
©
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
para
:
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.