Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=y^5-3 x y

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = y^5 - 3 x y. As derivadas parciais são um conceito da cálculo multivariável, e o que nós vamos precisar é saber como derivar a função em relação a cada uma das variáveis, x e y, tratando a outra como uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x, que a gente chama de partial fpartial x. Então, enquanto derivamos em relação a x, vamos considerar y como uma constante. Olhando para a função, temos:
f(x, y) = y^5 - 3xy
Quando derivamos y^5 em relação a x, ele desaparece, já que y é constante. Agora, vamos focar na parte -3xy. A derivada de -3xy em relação a x é simplesmente -3y, porque você só precisa derivar o x e o y permanece como está. Assim, temos:
partial fpartial x = 0 - 3y = -3y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y, que chamamos de partial fpartial y. Aqui, nós consideramos x como uma constante. Novamente, vamos olhar para a função:
f(x, y) = y^5 - 3xy
Dessa vez, ao derivar y^5 em relação a y, usamos a regra da potência, que diz que a derivada de y^n é n y^n-1. Então, a derivada de y^5 é 5y^4. Agora, para a parte -3xy, a derivada em relação a y é -3x, pois agora estamos tratando x como constante. Juntando as duas derivadas, temos:
partial fpartial y = 5y^4 - 3x

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = y^5 - 3x y são:
partial fpartial x = -3y
e
partial fpartial y = 5y^4 - 3x.

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