Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . As derivadas parciais são um conceito da cálculo multivariável, e o que nós vamos precisar é saber como derivar a função em relação a cada uma das variáveis, e , tratando a outra como uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . Então, enquanto derivamos em relação a , vamos considerar como uma constante. Olhando para a função, temos:
Quando derivamos em relação a , ele desaparece, já que é constante. Agora, vamos focar na parte . A derivada de em relação a é simplesmente , porque você só precisa derivar o e o permanece como está. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Aqui, nós consideramos como uma constante. Novamente, vamos olhar para a função:
Dessa vez, ao derivar em relação a , usamos a regra da potência, que diz que a derivada de é . Então, a derivada de é . Agora, para a parte , a derivada em relação a é , pois agora estamos tratando como constante. Juntando as duas derivadas, temos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

e
.

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