Determine se os campos abaixo são conservativos F(x, y) = (y cos(x+y), -x sen(x+y))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o campo vetorial é conservativo. Isso está ligado ao estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como verificar essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial , ou seja, . Isso implica que o trabalho realizado pelo campo é independente do caminho seguido.

Passo 3

Uma maneira prática de verificar se um campo é conservativo em duas dimensões é usar a seguinte condição: se , então o campo é conservativo se
vamos aplicar isso no nosso caso.

Passo 4

Identificamos e . Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, comparamos e :

Passo 6

Para o campo ser conservativo, essas duas expressões precisam ser iguais para todos os e . Vamos verificar se isso acontece:
Claramente, a menos que e satisfaçam uma relação específica, essas expressões não são iguais para todos os pontos. Portanto, a condição não é satisfeita.

Resposta

O campo não é conservativo.

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