Determine se os campos abaixo são conservativos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Isso está ligado ao estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como verificar essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial
, ou seja,
. Isso implica que o trabalho realizado pelo campo é independente do caminho seguido.
Passo 3
Uma maneira prática de verificar se um campo é conservativo em duas dimensões é usar a seguinte condição: se
, então o campo é conservativo se
vamos aplicar isso no nosso caso.
Passo 4
Identificamos
e
. Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, comparamos
e
:
Passo 6
Para o campo ser conservativo, essas duas expressões precisam ser iguais para todos os
e
. Vamos verificar se isso acontece:
Claramente, a menos que
e
satisfaçam uma relação específica, essas expressões não são iguais para todos os pontos. Portanto, a condição não é satisfeita.
Resposta
O campo
não é conservativo.