Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Cálculo Vetorial. O objetivo aqui é provar que o campo vetorial dado é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e como encontrar a função potencial associada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escalar
tal que:
Isso significa que
é o gradiente de alguma função
.
Passo 3
Para provar que o campo vetorial é conservativo, vamos utilizar o critério das derivadas cruzadas iguais. Ou seja, se o campo vetorial
satisfaz:
então o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais do campo vetorial dado:
Primeiro, calculamos
e
:
Como
, essa condição está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
:
Também temos
, então essa condição está satisfeita.
Passo 6
Por fim, vamos verificar
e
:
Aqui,
, então essa condição também está satisfeita.
Passo 7
Como todas as condições das derivadas cruzadas iguais são satisfeitas, podemos concluir que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitária de
e
.
Passo 9
Agora, vamos usar a segunda equação para determinar
:
Comparando, temos:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 10
Por fim, usamos a terceira equação para encontrar
:
Comparando, vemos que:
Onde
é uma constante.
Resposta
A função potencial é:
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.
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