Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Cálculo Vetorial. O objetivo aqui é provar que o campo vetorial dado é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e como encontrar a função potencial associada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que:
Isso significa que é o gradiente de alguma função .

Passo 3

Para provar que o campo vetorial é conservativo, vamos utilizar o critério das derivadas cruzadas iguais. Ou seja, se o campo vetorial satisfaz:
então o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais do campo vetorial dado:
Primeiro, calculamos e :
Como , essa condição está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos calcular e :
Também temos , então essa condição está satisfeita.

Passo 6

Por fim, vamos verificar e :
Aqui, , então essa condição também está satisfeita.

Passo 7

Como todas as condições das derivadas cruzadas iguais são satisfeitas, podemos concluir que o campo vetorial é conservativo.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função arbitária de e .

Passo 9

Agora, vamos usar a segunda equação para determinar :
Comparando, temos:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 10

Por fim, usamos a terceira equação para encontrar :
Comparando, vemos que:
Onde é uma constante.

Resposta

A função potencial é:

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