Determine se os campos abaixo são conservativos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para determinar se um campo vetorial dado é conservativo. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre campos vetoriais conservativos. Para resolver isso, vamos precisar calcular algumas derivadas parciais e verificar umas condições específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo é conservativo se ele pode ser “derivado” de uma função potencial. Isso significa que existe uma função tal que o campo é o gradiente dessa função, ou seja:
Uma condição importante para verificar se um campo é conservativo é comparar as derivadas parciais dos componentes do campo.

Passo 3

Vamos identificar os componentes do campo . Aqui, temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

A condição para que o campo seja conservativo é que essas duas derivadas parciais sejam iguais, ou seja:
No nosso caso, temos:
Como elas são iguais para todo e , isso satisfaz a condição necessária.

Resposta

Sim, o campo é conservativo.

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Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição .
Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial
Determine se os campos abaixo são conservativos