Determine se os campos abaixo são conservativos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para determinar se um campo vetorial dado é conservativo. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre campos vetoriais conservativos. Para resolver isso, vamos precisar calcular algumas derivadas parciais e verificar umas condições específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo é conservativo se ele pode ser “derivado” de uma função potencial. Isso significa que existe uma função
tal que o campo
é o gradiente dessa função, ou seja:
Uma condição importante para verificar se um campo é conservativo é comparar as derivadas parciais dos componentes do campo.
Passo 3
Vamos identificar os componentes do campo
. Aqui, temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
A condição para que o campo seja conservativo é que essas duas derivadas parciais sejam iguais, ou seja:
No nosso caso, temos:
Como elas são iguais para todo
e
, isso satisfaz a condição necessária.
Resposta
Sim, o campo
é conservativo.
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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
.
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
.
Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial
Determine se os campos abaixo são conservativos