Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função . Isso envolve cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e análise da matriz Hessiana para determinar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, a gente calcula as derivadas parciais em relação a e e iguala elas a zero.
A derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um único ponto crítico: .

Passo 4

Para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar a Matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
Então, a Matriz Hessiana é:

Passo 5

Agora, calculamos o determinante da Hessiana:
Se o determinante da Hessiana for negativo, isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é um ponto de sela da função . Não há valores máximos ou mínimos locais.

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