Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Isso envolve cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e análise da matriz Hessiana para determinar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, a gente calcula as derivadas parciais em relação a
e
e iguala elas a zero.
A derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um único ponto crítico:
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar a Matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
Então, a Matriz Hessiana
é:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante da Hessiana:
Se o determinante da Hessiana for negativo, isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico
é um ponto de sela da função
. Não há valores máximos ou mínimos locais.
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Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
.
Use a derivação implícita para determinar
e
da equação:
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