Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
a) F(x, y)=(y(1+y^2)(1+x^2+y^2), x(1+x^2)(1+x^2+y^2)).
b) F(x, y)=(ln (y^2+1)+y^3+y, 2 y(x-1)y^2+1+arctan x).
c) F(x, y)=(ln (y^2+1), 2 y(x-1)y^2+1).
d) F(x, y, z)=(y+z, z+x, x+y).
e) F(x, y, z)=(y+z, x-z, x+y^3).
f) F(x, y)=(7+y^2-3 x^2, e^y+2 x y+1).
g) F(x, y, z)=(cos y+2 x y^2 z^2,-x sen y+e^z+2 y x^2 z^2, y e^z+2 y^2 x^2 z).
h) Considere o campo F: R^2 R^2 dado por:
F(x, y)=(8+y^2-3 x^2, e^y+2 x y+y e^-2 y)
Determine se F é conservativo e encontre todas as funções potenciais associadas a F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial . Nosso objetivo aqui é descobrir se esse campo é conservativo e, se for, encontrar a função potencial associada a ele. Para isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais conservativos e funções potenciais, além de usar algumas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo F = nabla phi é conservativo se existe uma função escalar F1 = partial phipartial x e F2 = partial phipartial y tal que:
partial F1partial y = partial F2partial x
Isso significa que:
Uma condição importante para que o campo seja conservativo é que as derivadas cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos verificar isso para o nosso campo.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Primeiro, F1 = 8 + y^2 - 3x^2 partial F1partial y = 2y :
F2 = e^y + 2xy + y e^-2y partial F2partial x = 2y
Agora, partial F1partial y = 2y = partial F2partial x :
Vimos que:
Como as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que partial phipartial x = 8 + y^2 - 3x^2 Rightarrow phi(x, y) = integral (8 + y^2 - 3x^2) , dx = 8x + y^2x - x^3 + g(y) é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a derivada em relação a eliminou variações em .

Passo 5

Agora, derivamos partial phipartial y = 2yx + g'(y) = e^y + 2xy + y e^-2y em relação a 2xy + g'(y) = e^y + 2xy + y e^-2y e igualamos a g'(y) = e^y + y e^-2y :
g(y) = integral (e^y + y e^-2y) , dy = e^y - y e^-2y2 - e^-2y4 + C
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:
Agora, integramos em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo phi(x, y) = 8x + y^2x - x^3 + e^y - y e^-2y2 - e^-2y4 + C na expressão de phi(x, y) = 8x + y^2x - x^3 + e^y - y e^-2y2 - e^-2y4 + C :
Podemos simplificar a constante e expressar a função potencial final como:

Resposta

O campo phi(x, y) = 8x + y^2x - x^3 + e^y - y e^-2y2 - e^-2y4 + C é conservativo, e uma função potencial associada a ele é:
Onde é uma constante real.

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