Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) Considere o campo dado por:
Determine se é conservativo e encontre todas as funções potenciais associadas a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial . Nosso objetivo aqui é descobrir se esse campo é conservativo e, se for, encontrar a função potencial associada a ele. Para isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais conservativos e funções potenciais, além de usar algumas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar tal que:
Isso significa que:
Uma condição importante para que o campo seja conservativo é que as derivadas cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos verificar isso para o nosso campo.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Primeiro, :
Agora, :
Vimos que:
Como as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a derivada em relação a eliminou variações em .
Passo 5
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:
Agora, integramos em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo na expressão de :
Podemos simplificar a constante e expressar a função potencial final como:
Resposta
O campo é conservativo, e uma função potencial associada a ele é: