Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
.
g)
.
h) Considere o campo
dado por:
Determine se
é conservativo e encontre todas as funções potenciais associadas a
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) Considere o campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse campo é conservativo e, se for, encontrar a função potencial associada a ele. Para isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais conservativos e funções potenciais, além de usar algumas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que:
Isso significa que:
Uma condição importante para que o campo seja conservativo é que as derivadas cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos verificar isso para o nosso campo.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Primeiro,
:
Agora,
:
Vimos que:
Como as derivadas cruzadas são iguais, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a derivada em relação a
eliminou variações em
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Cancelando
dos dois lados:
Agora, integramos
em relação a
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Podemos simplificar a constante
e expressar a função potencial final como:
Resposta
O campo
é conservativo, e uma função potencial associada a ele é:
Onde
é uma constante real.