Determine uma transformação linear cuja a imagem e o núcleo sejam gerados pelos vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear juntos! A gente precisa determinar uma transformação linear onde a imagem é gerada pelo vetor e o núcleo é gerado pelo vetor . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como imagem, núcleo e matrizes de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação. No nosso caso, a imagem é gerada pelo vetor . Isso significa que a imagem de é uma linha na direção de .

Passo 3

Agora, o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero. O núcleo aqui é gerado pelo vetor . Isso nos diz que qualquer múltiplo de será levado ao zero por .

Passo 4

Sabendo o núcleo e a imagem, podemos construir a matriz da transformação . A ideia é que mapeie todo vetor em de forma que os vetores no núcleo vão para zero e os vetores fora do núcleo são mapeados na direção da imagem.

Passo 5

Para isso, vamos usar a decomposição de um vetor em uma parte que está no núcleo e outra que está na imagem. Ou seja, . Quando aplicamos , a parte que está no núcleo vira zero, e a parte na imagem é mapeada na direção de .

Passo 6

A matriz de deve, portanto, multiplicar de tal forma que apenas a componente na direção de seja preservada. Podemos construir essa matriz usando como coluna e garantindo que o vetor no núcleo seja anulado.

Passo 7

Depois de realizar os cálculos, a matriz de que satisfaz essas condições é:

Resposta

A transformação linear que tem a imagem gerada por e o núcleo gerado por é representada pela matriz:

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Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) Considere o campo dado por:
Determine se é conservativo e encontre todas as funções potenciais associadas a .