Determine uma transformação linear cuja a imagem e o núcleo sejam gerados pelos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear juntos! A gente precisa determinar uma transformação linear onde a imagem é gerada pelo vetor e o núcleo é gerado pelo vetor . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como imagem, núcleo e matrizes de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação. No nosso caso, a imagem é gerada pelo vetor . Isso significa que a imagem de é uma linha na direção de .
Passo 3
Agora, o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero. O núcleo aqui é gerado pelo vetor . Isso nos diz que qualquer múltiplo de será levado ao zero por .
Passo 4
Sabendo o núcleo e a imagem, podemos construir a matriz da transformação . A ideia é que mapeie todo vetor em de forma que os vetores no núcleo vão para zero e os vetores fora do núcleo são mapeados na direção da imagem.
Passo 5
Para isso, vamos usar a decomposição de um vetor em uma parte que está no núcleo e outra que está na imagem. Ou seja, . Quando aplicamos , a parte que está no núcleo vira zero, e a parte na imagem é mapeada na direção de .
Passo 6
A matriz de deve, portanto, multiplicar de tal forma que apenas a componente na direção de seja preservada. Podemos construir essa matriz usando como coluna e garantindo que o vetor no núcleo seja anulado.
Passo 7
Depois de realizar os cálculos, a matriz de que satisfaz essas condições é:
Resposta
A transformação linear que tem a imagem gerada por e o núcleo gerado por é representada pela matriz: