Seja
uma transformação linear de
tal que
e
. Determine uma base para imagem de
;
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que vai de
para
. Nos foram fornecidas as imagens de três vetores específicos:
,
e
. O objetivo é determinar uma base para a imagem de
.
Conteúdo da matéria: Transformações lineares, imagem de uma transformação, bases e combinação linear.
O que vamos precisar: Entender como encontrar a imagem de uma transformação linear e identificar vetores que formam uma base para esse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores
para
em
. Ou seja,
Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço imagem.
Passo 3
Vamos organizar os vetores imagem em uma matriz para facilitar a análise. Colocamos cada vetor
como colunas da matriz:
Agora, queremos encontrar quais colunas de
são linearmente independentes. Isso nos ajudará a determinar quais vetores formarão a base da imagem.
Passo 4
Para verificar a independência linear das colunas, vamos ver se alguma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Observando a primeira coluna
e a segunda
:
Não há um escalar
tal que
, pois
e
simultaneamente. Portanto, as duas primeiras colunas são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a terceira coluna
pode ser escrita como uma combinação linear das duas primeiras colunas
e
. Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Então,
Isso mostra que a terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras.
Passo 6
Como a terceira coluna
é uma combinação linear das duas primeiras, ela não aporta nova informação para a imagem. Portanto, os vetores
e
já são suficientes para gerar toda a imagem de
e são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para a imagem de
é formada pelos vetores
.
Exercícios relacionados
Determine uma transformação linear
cuja a imagem e o núcleo sejam gerados pelos vetores
e
.
Seja o campo escalar
. Determine a derivada direcional no ponto
, na orientação do vetor
, onde
.
Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) Considere o campo dado por:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) Considere o campo
Determine se
é conservativo e encontre todas as funções potenciais associadas a
.
Resolva três dos ítens abaixo.
Encontre a medida angular , entre os vetores
e
.
Encontre a medida angular