Seja uma transformação linear de tal que e . Determine uma base para imagem de ;

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que vai de para . Nos foram fornecidas as imagens de três vetores específicos: , e . O objetivo é determinar uma base para a imagem de .
Conteúdo da matéria: Transformações lineares, imagem de uma transformação, bases e combinação linear.
O que vamos precisar: Entender como encontrar a imagem de uma transformação linear e identificar vetores que formam uma base para esse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores para em . Ou seja,
Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço imagem.

Passo 3

Vamos organizar os vetores imagem em uma matriz para facilitar a análise. Colocamos cada vetor como colunas da matriz:
Agora, queremos encontrar quais colunas de são linearmente independentes. Isso nos ajudará a determinar quais vetores formarão a base da imagem.

Passo 4

Para verificar a independência linear das colunas, vamos ver se alguma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Observando a primeira coluna e a segunda :
Não há um escalar tal que , pois e simultaneamente. Portanto, as duas primeiras colunas são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a terceira coluna pode ser escrita como uma combinação linear das duas primeiras colunas e . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então,
Isso mostra que a terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras.

Passo 6

Como a terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras, ela não aporta nova informação para a imagem. Portanto, os vetores e já são suficientes para gerar toda a imagem de e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para a imagem de é formada pelos vetores .

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Determine uma transformação linear cuja a imagem e o núcleo sejam gerados pelos vetores e .
Seja o campo escalar . Determine a derivada direcional no ponto , na orientação do vetor , onde .
Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) Considere o campo dado por:
Determine se é conservativo e encontre todas as funções potenciais associadas a .
Resolva três dos ítens abaixo.
Encontre a medida angular , entre os vetores e .