Seja T uma transformação linear de R^3 em R^2 tal que T(1,0,0)=(1,3), T(1,1,0)=(0,4) e T(4,0,1)=(0,20). Determine uma base para imagem de T;

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que vai de para . Nos foram fornecidas as imagens de três vetores específicos: , e . O objetivo é determinar uma base para a imagem de .
Conteúdo da matéria: Transformações lineares, imagem de uma transformação, bases e combinação linear.
O que vamos precisar: Entender como encontrar a imagem de uma transformação linear e identificar vetores que formam uma base para esse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear Im(T) = T(v) mid v in R^3 é o conjunto de todos os vetores para em . Ou seja,
Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço imagem.

Passo 3

Vamos organizar os vetores imagem em uma matriz para facilitar a análise. Colocamos cada vetor A = 1 & 0 & 0 3 & 4 & 20 como colunas da matriz:
Agora, queremos encontrar quais colunas de são linearmente independentes. Isso nos ajudará a determinar quais vetores formarão a base da imagem.

Passo 4

Para verificar a independência linear das colunas, vamos ver se alguma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Observando a primeira coluna e a segunda :
Não há um escalar tal que , pois e simultaneamente. Portanto, as duas primeiras colunas são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a terceira coluna a(1,3) + b(0,4) = (0,20) pode ser escrita como uma combinação linear das duas primeiras colunas a = 0 3a + 4b = 20 e 3(0) + 4b = 20 Rightarrow 4b = 20 Rightarrow b = 5 . Ou seja, queremos encontrar escalares 0(1,3) + 5(0,4) = (0,20) e tais que:
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então,
Isso mostra que a terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras.

Passo 6

Como a terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras, ela não aporta nova informação para a imagem. Portanto, os vetores e já são suficientes para gerar toda a imagem de e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para a imagem de é formada pelos vetores .

Exercícios relacionados