Seja a matriz
faça o que se pede:
a) (2,0 pontos) Calcule os autovalores de ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular os autovalores da matriz . Autovalores são valores especiais que, quando aplicados em uma matriz, preservam a direção dos vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de determinante e a equação característica de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber que os autovalores ( ) de uma matriz são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.

Passo 3

Vamos montar a matriz . Dado que:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Como a matriz é triangular inferior em relação à última coluna, o determinante pode ser calculado multiplicando os elementos da diagonal principal:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar como:
Então:

Passo 6

Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
Isso nos dá as soluções:
Portanto:
Observamos que é uma solução com multiplicidade 2.

Resposta

Os autovalores da matriz são (com multiplicidade 2) e .

Exercícios relacionados

Resolva três dos ítens abaixo.
Encontre a medida angular , entre os vetores e .
Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) Considere o campo dado por:
Determine se é conservativo e encontre todas as funções potenciais associadas a .
Seja uma transformação linear de em tal que e . Determine uma base para a imagem de .
Sejam e .
a) Mostre que e são ortogonais para todo .
b) Mostre que o campo vetorial é paralelo ao plano .