faça o que se pede:
a) (2,0 pontos) Calcule os autovalores de ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular os autovalores da matriz . Autovalores são valores especiais que, quando aplicados em uma matriz, preservam a direção dos vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de determinante e a equação característica de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber que os autovalores () de uma matriz são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.
Passo 3
Vamos montar a matriz . Dado que:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Como a matriz é triangular inferior em relação à última coluna, o determinante pode ser calculado multiplicando os elementos da diagonal principal:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar como:
Então:
Passo 6
Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
Isso nos dá as soluções:
Portanto:
Observamos que é uma solução com multiplicidade 2.
Resposta
Os autovalores da matriz são (com multiplicidade 2) e .