Seja a matriz A
A=[lll 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ]
faça o que se pede:
a) (2,0 pontos) Calcule os autovalores de A;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular os autovalores da matriz . Autovalores são valores especiais que, quando aplicados em uma matriz, preservam a direção dos vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de determinante e a equação característica de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber que os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) de uma matriz são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.

Passo 3

Vamos montar a matriz A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 e I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Dado que:
A - lambda I = 0 - lambda & 1 & 0 1 & 0 - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda
Como a matriz é triangular inferior em relação à última coluna, o determinante pode ser calculado multiplicando os elementos da diagonal principal:
det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda)(1 - lambda) - 1 cdot 1 cdot (1 - lambda) = (lambda^2)(1 - lambda) - (1)(1 - lambda)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
det(A - lambda I) = (lambda^2)(1 - lambda) - (1)(1 - lambda) = (lambda^2 - 1)(1 - lambda)
Podemos fatorar lambda^2 - 1 = (lambda - 1)(lambda + 1) como:
det(A - lambda I) = (lambda - 1)(lambda + 1)(1 - lambda) = -(lambda - 1)^2(lambda + 1)
Então:

Passo 6

Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
-(lambda - 1)^2(lambda + 1) = 0
Isso nos dá as soluções:
lambda - 1 = 0 ou lambda + 1 = 0
Portanto:
lambda = 1 ou lambda = -1
Observamos que é uma solução com multiplicidade 2.

Resposta

Os autovalores da matriz são (com multiplicidade 2) e .

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