Determine a capacidade de uma esfera condutora isolada, com raio de 4.0 cm e rodeada por ar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a capacitância de uma esfera condutora isolada que tem um raio de 4,0 cm e está rodeada por ar. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da capacitância de uma esfera e entender um pouquinho sobre constantes elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a capacitância $ C $ de uma esfera isolada. A fórmula é:
Aqui:
- $ C $ é a capacitância,
- $ \pi $ é uma constante matemática (aproximadamente 3,1416),
- $ \varepsilon_0 $ é a permitividade do vácuo, que vale aproximadamente $ 8,854 \times 10^{-12} , F/m $,
- $ R $ é o raio da esfera.
Essa fórmula nos mostra que a capacitância depende diretamente do raio da esfera e das propriedades do meio ao redor (no caso, o ar tem a mesma permitividade do vácuo para esse cálculo).
Passo 3
Agora, precisamos garantir que todas as unidades estejam corretas. O raio dado está em centímetros, mas a fórmula usa metros. Então, vamos converter:
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula da capacitância:
Passo 5
Agora, vamos calcular passo a passo:
- Multiplicamos $ 4 \times \pi $:
- Multiplicamos esse resultado pela permitividade do vácuo:
- Finalmente, multiplicamos pelo raio em metros:
Resposta
A capacitância da esfera condutora isolada é aproximadamente 4,45 pF (picoFarads).