Determine a capacidade de uma esfera condutora isolada, com raio de 4.0 cm e rodeada por ar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a capacitância de uma esfera condutora isolada que tem um raio de 4,0 cm e está rodeada por ar. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da capacitância de uma esfera e entender um pouquinho sobre constantes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a capacitância $ C $ de uma esfera isolada. A fórmula é:
C
Aqui:
  • $ C $ é a capacitância,
  • $ \pi $ é uma constante matemática (aproximadamente 3,1416),
  • $ \varepsilon_0 $ é a permitividade do vácuo, que vale aproximadamente $ 8,854 \times 10^{-12} , F/m $,
  • $ R $ é o raio da esfera.
Essa fórmula nos mostra que a capacitância depende diretamente do raio da esfera e das propriedades do meio ao redor (no caso, o ar tem a mesma permitividade do vácuo para esse cálculo).

Passo 3

Agora, precisamos garantir que todas as unidades estejam corretas. O raio dado está em centímetros, mas a fórmula usa metros. Então, vamos converter:
R = 4,0 , cm = 0,04 , m

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula da capacitância:
C = 4pi times 8,854 times 10^-12 , F/m times 0,04 , m

Passo 5

Agora, vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplicamos $ 4 \times \pi $:
4 times pi
  1. Multiplicamos esse resultado pela permitividade do vácuo:
4pi approx 12,566
  1. Finalmente, multiplicamos pelo raio em metros:
12,566 times 8,854 times 10^-12 approx 1,113 times 10^-10 , F/m

Resposta

A capacitância da esfera condutora isolada é aproximadamente 4,45 pF (picoFarads).

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