Determine, caso exista, a interseção entre as retas dadas. Caso as retas se interceptem, determine a equação geral e equações paramétricas do plano que contém estas retas.
(a) e Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se duas retas no espaço se cruzam. Se sim, temos que achar o ponto onde elas se encontram e também a equação geral e paramétrica do plano que contém essas duas retas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre interseção de retas e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas que foram dadas:
Para a reta r:
Para a reta s:
Aqui, t é o parâmetro que varia ao longo de cada reta.
Passo 3
Para encontrar se as retas r e s se interceptam, precisamos encontrar valores de t que satisfaçam as três equações de x, y e z simultaneamente. Ou seja, vamos igualar as coordenadas correspondentes:
Aqui, usamos t para a reta r e t’ para a reta s.
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de t e t’.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo t = 5 - 6t’ na segunda equação:
Agora, substituindo t’ = 1 na expressão de t:
Passo 5
Com os valores de t = -1 e t’ = 1, vamos encontrar o ponto de interseção substituindo em uma das equações das retas. Vamos usar a reta r:
Então, o ponto de interseção é (3, 8, 12).
Passo 6
Agora que sabemos que as duas retas se intersectam no ponto (3, 8, 12), vamos encontrar a equação geral e as equações paramétricas do plano que contém essas retas.
Para isso, precisamos de um ponto no plano e de dois vetores diretores que estejam no plano. Podemos usar o ponto de interseção (3, 8, 12) e os vetores diretores das retas r e s.
O vetor diretor da reta r é e o da reta s é .
Passo 7
Para encontrar a equação geral do plano, usamos a seguinte fórmula:
onde é um ponto no plano e são as componentes do vetor normal ao plano.
Primeiro, encontramos o vetor normal usando o produto vetorial dos vetores diretores:
Podemos simplificar dividindo por 23:
Passo 8
Agora, usando o ponto (3, 8, 12) e o vetor normal , a equação geral do plano fica:
Então, a equação geral do plano é:
Passo 9
Para as equações paramétricas do plano, além do ponto (3, 8, 12), usamos os vetores diretores e :