Determine, caso exista, a interseção entre as retas dadas. Caso as retas se interceptem, determine a equação geral e equações paramétricas do plano que contém estas retas.
(a) e s:lx=-3+6 t y=1+7 t z=-1+13 t Resp: (3,8,12)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se duas retas no espaço se cruzam. Se sim, temos que achar o ponto onde elas se encontram e também a equação geral e paramétrica do plano que contém essas duas retas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre interseção de retas e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas que foram dadas:
Para a reta r:
x = 2 - t y = 3 - 5t z = 6 - 6t
Para a reta s:
x = -3 + 6t y = 1 + 7t z = -1 + 13t
Aqui, t é o parâmetro que varia ao longo de cada reta.
Passo 3
Para encontrar se as retas r e s se interceptam, precisamos encontrar valores de t que satisfaçam as três equações de x, y e z simultaneamente. Ou seja, vamos igualar as coordenadas correspondentes:
Com os valores de t = -1 e t’ = 1, vamos encontrar o ponto de interseção substituindo em uma das equações das retas. Vamos usar a reta r:
x = 2 - (-1) = 3 y = 3 - 5(-1) = 8 z = 6 - 6(-1) = 12
Então, o ponto de interseção é (3, 8, 12).
Passo 6
Agora que sabemos que as duas retas se intersectam no ponto (3, 8, 12), vamos encontrar a equação geral e as equações paramétricas do plano que contém essas retas.
Para isso, precisamos de um ponto no plano e de dois vetores diretores que estejam no plano. Podemos usar o ponto de interseção (3, 8, 12) e os vetores diretores das retas r e s.
O vetor diretor da reta r é e o da reta s é .
Passo 7
Para encontrar a equação geral do plano, usamos a seguinte fórmula:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
onde n = vr times vs = i & j & k -1 & -5 & -6 6 & 7 & 13 = ( (-5)(13) - (-6)(7), - [ (-1)(13) - (-6)(6) ], (-1)(7) - (-5)(6) ) é um ponto no plano e n = (-65 + 42, - (-13 + 36), (-7 + 30)) = (-23, 23, 23) são as componentes do vetor normal ao plano.
Primeiro, encontramos o vetor normal n = (-1, 1, 1) usando o produto vetorial dos vetores diretores:
Podemos simplificar dividindo por 23:
Passo 8
Agora, usando o ponto (3, 8, 12) e o vetor normal -1(x - 3) + 1(y - 8) + 1(z - 12) = 0 Rightarrow -x + 3 + y - 8 + z - 12 = 0 Rightarrow -x + y + z - 17 = 0 Rightarrow x - y - z + 17 = 0 , a equação geral do plano fica:
x - y - z + 17 = 0
Então, a equação geral do plano é:
Passo 9
Para as equações paramétricas do plano, além do ponto (3, 8, 12), usamos os vetores diretores x = 3 - s + 6t y = 8 - 5s + 7t z = 12 - 6s + 13t e :