Determine o valor de para que seja de o ângulo entre as retas e Resp: 1 ou 7.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar.
Enunciado resumido: Precisamos encontrar o valor de de forma que o ângulo entre duas retas no espaço tridimensional seja de .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com geometria analítica no espaço, especificamente com vetores diretores das retas e a fórmula do ângulo entre dois vetores.
O que vamos precisar:
  • Representar as retas em forma paramétrica.
  • Identificar os vetores diretores das retas.
  • Usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores para relacionar os vetores diretores com o ângulo dado.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações das duas retas na forma paramétrica.
Reta :
A equação dada é .
Podemos escrever isso como:
onde é um parâmetro real.
Reta :
A equação dada é:
Podemos escrever isso como:
onde é um par��metro real.

Passo 3

Agora, identificamos os vetores diretores de cada reta.
Vetor diretor da reta : É o vetor que multiplica o parâmetro na forma paramétrica de .
Vetor diretor da reta : É o vetor que multiplica o parâmetro na forma paramétrica de .

Passo 4

Vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores para relacionar os vetores diretores e com o ângulo de .
A fórmula é:
onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes (normas) dos vetores.
Sabemos que e .

Passo 5

Vamos calcular cada parte da fórmula:
Produto escalar :
Magnitude de :
Magnitude de :

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 5:

Passo 7

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são 1 ou 7.

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