Determine o valor de n para que seja de 30^circ o ângulo entre as retas r: x-24=y5=z3 e s:ly=n x+5 z=2 x-2 Resp: 1 ou 7.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar.
Enunciado resumido: Precisamos encontrar o valor de de forma que o ângulo entre duas retas no espaço tridimensional seja de .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com geometria analítica no espaço, especificamente com vetores diretores das retas e a fórmula do ângulo entre dois vetores.
O que vamos precisar:
  • Representar as retas em forma paramétrica.
  • Identificar os vetores diretores das retas.
  • Usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores para relacionar os vetores diretores com o ângulo dado.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações das duas retas na forma paramétrica.
Reta x = 2 + 4t y = 0 + 5t z = 0 + 3t :
A equação dada é y = n x + 5 z = 2x - 2 .
Podemos escrever isso como:
x = t y = n t + 5 z = 2t - 2
onde é um parâmetro real.
Reta :
A equação dada é:
Podemos escrever isso como:
onde é um par��metro real.

Passo 3

Agora, identificamos os vetores diretores de cada reta.
Vetor diretor da reta u = 4 5 3 : É o vetor que multiplica o parâmetro v = 1 n 2 na forma paramétrica de .
Vetor diretor da reta : É o vetor que multiplica o parâmetro na forma paramétrica de .

Passo 4

Vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores para relacionar os vetores diretores cos(theta) = u cdot v|u| , |v| e com o ângulo de .
A fórmula é:
onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes (normas) dos vetores.
Sabemos que e .

Passo 5

Vamos calcular cada parte da fórmula:
Produto escalar u cdot v = (4)(1) + (5)(n) + (3)(2) = 4 + 5n + 6 = 10 + 5n :
|u| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 = 5raiz2
Magnitude de |v| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5 :
Magnitude de :

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
raiz32 = 10 + 5n5raiz2 cdot raizn^2 + 5
Vamos simplificar a equação:
raiz32 = 10 + 5n5raiz2(n^2 + 5)
Multiplicando ambos os lados por 5raiz2(n^2 + 5) cdot raiz32 = 10 + 5n :
5raiz6(n^2 + 5)2 = 10 + 5n
Simplificando:
raiz6(n^2 + 5)2 = 2 + n
Dividindo ambos os lados por 5:

Passo 7

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
( raiz6(n^2 + 5)2 )^2 = (2 + n)^2
6(n^2 + 5)4 = 4 + 4n + n^2
6n^2 + 304 = 4 + 4n + n^2
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
6n^2 + 30 = 16 + 16n + 4n^2
6n^2 + 30 - 16 - 16n - 4n^2 = 0
2n^2 - 16n + 14 = 0
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
n^2 - 8n + 7 = 0

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática n = 8 pm raiz64 - 282 = 8 pm raiz362 = 8 pm 62 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
n = 8 + 62 = 7 ou n = 8 - 62 = 1
Então, temos duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são 1 ou 7.

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