Determine o valor de para que seja de o ângulo entre as retas e Resp: 1 ou 7.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar.
Enunciado resumido: Precisamos encontrar o valor de de forma que o ângulo entre duas retas no espaço tridimensional seja de .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com geometria analítica no espaço, especificamente com vetores diretores das retas e a fórmula do ângulo entre dois vetores.
O que vamos precisar:
Representar as retas em forma paramétrica.
Identificar os vetores diretores das retas.
Usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores para relacionar os vetores diretores com o ângulo dado.
Passo 2
Vamos começar escrevendo as equações das duas retas na forma paramétrica.
Reta :
A equação dada é .
Podemos escrever isso como:
onde é um parâmetro real.
Reta :
A equação dada é:
Podemos escrever isso como:
onde é um par��metro real.
Passo 3
Agora, identificamos os vetores diretores de cada reta.
Vetor diretor da reta : É o vetor que multiplica o parâmetro na forma paramétrica de .
Vetor diretor da reta : É o vetor que multiplica o parâmetro na forma paramétrica de .
Passo 4
Vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores para relacionar os vetores diretores e com o ângulo de .
A fórmula é:
onde:
é o produto escalar dos vetores.
e são as magnitudes (normas) dos vetores.
Sabemos que e .
Passo 5
Vamos calcular cada parte da fórmula:
Produto escalar :
Magnitude de :
Magnitude de :
Passo 6
Substituindo na fórmula do cosseno:
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 5:
Passo 7
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Resposta
Os valores de que satisfazem a condição são 1 ou 7.