Determine, caso exista, a interseção entre as retas dadas. Caso as retas se interceptem, determine a equação geral e equações paramétricas do plano que contém estas retas.
© r:ly=2 x-3 z=-x+5 e s:ly=-3 x+7 z=x+1 Resp: (2,1,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se as duas retas dadas se cruzam em algum ponto. Se elas se encontrarem, também vamos achar a equação geral e as equações paramétricas do plano que contém essas retas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como sistemas de equações e equações de retas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações das retas r: y = 2x - 3 z = -x + 5 e s: y = -3x + 7 z = x + 1 :

Passo 3

Para descobrir se as retas se intersectam, vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações de e . Precisamos encontrar um valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 4

Vamos igualar as expressões de 2x - 3 = -3x + 7 das duas retas:
2x + 3x = 7 + 3 5x = 10 x = 2
Resolvendo essa equação:

Passo 5

Agora que temos y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 , substituímos esse valor em uma das equações para achar . Vamos usar a equação de :

Passo 6

Em seguida, substituímos z = -2 + 5 = 3 na equação de da reta :

Passo 7

Portanto, o ponto de interseção das retas e é .

Resposta

A interseção das retas ocorre no ponto .

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