Determine o vetor
de módulo
, sabendo que é ortogonal ao eixo
e ao vetor
e forma um ângulo obtuso com o vetor
. Resp:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o vetor
que tem módulo
, é ortogonal ao eixo
e ao vetor
, além de formar um ângulo obtuso com o vetor
. Isso envolve conhecimentos de álgebra vetorial, como ortogonalidade, módulo de vetores e ângulos entre vetores. Vamos precisar usar o produto escalar para verificar a ortogonalidade e calcular o módulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser ortogonal ao eixo
. O eixo
é representado pelo vetor
. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero. Então, temos:
Se
, então:
Então, sabemos que
.
Passo 3
Agora, a
também é ortogonal ao vetor
. Usando o produto escalar novamente:
Substituindo
:
Isso nos dá a relação:
Passo 4
Sabemos que o módulo de
é
. O módulo de um vetor
é calculado por:
Substituindo
e
:
Elevando os dois lados ao quadrado:
E lembrando que
, substituímos:
Passo 5
Vamos considerar as duas possibilidades para
:
- Se
, então . Então, . - Se
, então . Então, .
Passo 6
Por último, a questão diz que
forma um ângulo obtuso com o vetor
. Um ângulo obtuso significa que o produto escalar entre
e
deve ser negativo.
Vamos verificar:
- Para
:
O que significa que o ângulo é agudo. Então, descartamos essa opção.
2. Para :
2. Para
Aqui, o produto escalar é negativo, indicando um ângulo obtuso.