Determine o vetor de módulo , sabendo que é ortogonal ao eixo e ao vetor e forma um ângulo obtuso com o vetor . Resp: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o vetor que tem módulo , é ortogonal ao eixo e ao vetor , além de formar um ângulo obtuso com o vetor . Isso envolve conhecimentos de álgebra vetorial, como ortogonalidade, módulo de vetores e ângulos entre vetores. Vamos precisar usar o produto escalar para verificar a ortogonalidade e calcular o módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal ao eixo . O eixo é representado pelo vetor . Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero. Então, temos:
Se , então:
Então, sabemos que .

Passo 3

Agora, a também é ortogonal ao vetor . Usando o produto escalar novamente:
Substituindo :
Isso nos dá a relação:

Passo 4

Sabemos que o módulo de é . O módulo de um vetor é calculado por:
Substituindo e :
Elevando os dois lados ao quadrado:
E lembrando que , substituímos:

Passo 5

Vamos considerar as duas possibilidades para :
  1. Se , então . Então, .
  2. Se , então . Então, .

Passo 6

Por último, a questão diz que forma um ângulo obtuso com o vetor . Um ângulo obtuso significa que o produto escalar entre e deve ser negativo.
Vamos verificar:
  1. Para :
O que significa que o ângulo é agudo. Então, descartamos essa opção.
2. Para :
Aqui, o produto escalar é negativo, indicando um ângulo obtuso.

Resposta

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Determine, se possível, o valor de para que sejam ortogonais:
(b) e
Escrever equações paramétricas da reta que passa por e intercepta o eixo perpendicularmente. Resp:
Determine, caso exista, a interseção entre as retas dadas. Caso as retas se interceptem, determine a equação geral e equações paramétricas do plano que contém estas retas.
© e Resp:
Determine equações paramétricas, a equação simétrica e a reduzida na variável da reta que passa pelos pontos:
(b)