Determine o vetor u de módulo |u|=raiz5, sabendo que é ortogonal ao eixo y e ao vetor v=(1,0,-2) e forma um ângulo obtuso com o vetor i. Resp: u=(-2,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o vetor u que tem módulo raiz5, é ortogonal ao eixo y e ao vetor v = (1, 0, -2), além de formar um ângulo obtuso com o vetor i. Isso envolve conhecimentos de álgebra vetorial, como ortogonalidade, módulo de vetores e ângulos entre vetores. Vamos precisar usar o produto escalar para verificar a ortogonalidade e calcular o módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa u ser ortogonal ao eixo y. O eixo y é representado pelo vetor j = (0, 1, 0). Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero. Então, temos:
u cdot j = 0
Se u = (ux, uy, uz), então:
ux cdot 0 + uy cdot 1 + uz cdot 0 = uy = 0
Então, sabemos que uy = 0.

Passo 3

Agora, a u também é ortogonal ao vetor v = (1, 0, -2). Usando o produto escalar novamente:
u cdot v = 0
Substituindo u = (ux, 0, uz):
ux cdot 1 + 0 cdot 0 + uz cdot (-2) = ux - 2uz = 0
Isso nos dá a relação:
ux = 2uz

Passo 4

Sabemos que o módulo de u é raiz5. O módulo de um vetor (ux, uy, uz) é calculado por:
|u| = raizux^2 + uy^2 + uz^2
Substituindo |u| = raiz5 e uy = 0:
raizux^2 + uz^2 = raiz5
Elevando os dois lados ao quadrado:
ux^2 + uz^2 = 5
E lembrando que ux = 2uz, substituímos:
(2uz)^2 + uz^2 = 5 4uz^2 + uz^2 = 5 5uz^2 = 5 uz^2 = 1 uz = pm 1

Passo 5

Vamos considerar as duas possibilidades para uz:
  1. Se uz = 1, então ux = 2(1) = 2. Então, u = (2, 0, 1).
  2. Se uz = -1, então ux = 2(-1) = -2. Então, u = (-2, 0, -1).

Passo 6

Por último, a questão diz que u forma um ângulo obtuso com o vetor i = (1, 0, 0). Um ângulo obtuso significa que o produto escalar entre u e i deve ser negativo.
Vamos verificar:
  1. Para u = (2, 0, 1):
u cdot i = 2 cdot 1 + 0 cdot 0 + 1 cdot 0 = 2 > 0
O que significa que o ângulo é agudo. Então, descartamos essa opção.
2. Para u = (-2, 0, -1):
u cdot i = -2 cdot 1 + 0 cdot 0 + (-1) cdot 0 = -2 < 0
Aqui, o produto escalar é negativo, indicando um ângulo obtuso.

Resposta

u = (-2, 0, -1)

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