Determine o valor de m para que as retas r:lx=-3+m t y=1+3 t z=-4 t e s:ly=m x+3 z=x-1 sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve geometria analítica, especificamente o estudo de retas no espaço. Precisamos encontrar o valor de que faz com que as retas e sejam ortogonais, ou seja, perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para duas retas serem ortogonais no espaço, os vetores diretores delas devem ser perpendiculares. Isso significa que o produto escalar desses vetores deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos identificar os vetores diretores das retas. Para a reta x = -3 + mt y = 1 + 3t z = -4t , as equações paramétricas são:
O vetor diretor da reta é .

Passo 4

Agora, para a reta y = mx + 3 z = x - 1 , temos as equações:
x = s y = ms + 3 z = s - 1
Podemos reescrever essas equações paramétricas atribuindo . Assim:
O vetor diretor da reta é .

Passo 5

Para que as retas sejam ortogonais, o produto escalar dos vetores diretores deve ser zero. O produto escalar é dado por:
vr cdot vs = m cdot 1 + 3 cdot m + (-4) cdot 1 = 0

Passo 6

Vamos resolver a equação do produto escalar:
m + 3m - 4 = 0 4m - 4 = 0 4m = 4 m = 1

Resposta

O valor de que faz as retas serem ortogonais é .

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