Determine o valor de para que as retas e sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve geometria analítica, especificamente o estudo de retas no espaço. Precisamos encontrar o valor de que faz com que as retas e sejam ortogonais, ou seja, perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para duas retas serem ortogonais no espaço, os vetores diretores delas devem ser perpendiculares. Isso significa que o produto escalar desses vetores deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos identificar os vetores diretores das retas. Para a reta , as equações paramétricas são:
O vetor diretor da reta é .

Passo 4

Agora, para a reta , temos as equações:
Podemos reescrever essas equações paramétricas atribuindo . Assim:
O vetor diretor da reta é .

Passo 5

Para que as retas sejam ortogonais, o produto escalar dos vetores diretores deve ser zero. O produto escalar é dado por:

Passo 6

Vamos resolver a equação do produto escalar:

Resposta

O valor de que faz as retas serem ortogonais é .

Exercícios relacionados

Determine equações paramétricas, a equação simétrica e a reduzida na variável da reta que passa pelos pontos:
(b)
Determine, caso exista, a interseção entre as retas dadas. Caso as retas se interceptem, determine a equação geral e equações paramétricas do plano que contém estas retas.
© e Resp:
Determine, caso exista, a interseção entre as retas dadas. Caso as retas se interceptem, determine a equação geral e equações paramétricas do plano que contém estas retas.
((d) e Resp:
Determine uma equação cartesiana do plano contendo o ponto e a reta parametrizada por , onde .