Determine equações paramétricas, a equação simétrica e a reduzida na variável da reta que passa pelos pontos:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar as equações paramétricas, a equação simétrica e a reduzida na variável da reta que passa pelos pontos e . Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . Esse vetor é dado pela diferença das coordenadas dos pontos e . Então, calculamos:
Passo 3
Agora que temos o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas expressam cada coordenada em função de um parâmetro . Usamos um dos pontos, por exemplo, , e adicionamos o vetor diretor multiplicado por :
Passo 4
Para escrever a equação simétrica da reta, a gente iguala cada expressão das equações paramétricas a x - 12 = y + 21 = z - 3-6 e resolve para :
Essa é a forma simétrica da equação da reta .
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a equação reduzida na variável x = 1 + 2t Rightarrow t = x - 12 . Isso significa resolver as equações paramétricas para y = -2 + ( x - 12 ) = -2 + x2 - 12 = x2 - 52 e z = 3 - 6 ( x - 12 ) = 3 - 3(x - 1) = 3 - 3x + 3 = 6 - 3x em termos de y = x2 - 52 z = 6 - 3x .
Primeiro, da equação paramétrica de :
Agora, substituímos nas equações de e :
Então, a equação reduzida na variável é:
Resposta
As equações da reta x = 1 + 2t y = -2 + t z = 3 - 6t são: