Determine equações paramétricas, a equação simétrica e a reduzida na variável x da reta r que passa pelos pontos:
(b) A(1,-2,3), B(3,-1,-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar as equações paramétricas, a equação simétrica e a reduzida na variável da reta que passa pelos pontos e . Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta v = B - A = (3 - 1, -1 - (-2), -3 - 3) = (2, 1, -6) . Esse vetor é dado pela diferença das coordenadas dos pontos e . Então, calculamos:

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor x = 1 + 2t y = -2 + t z = 3 - 6t , podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas expressam cada coordenada em função de um parâmetro . Usamos um dos pontos, por exemplo, , e adicionamos o vetor diretor multiplicado por :

Passo 4

Para escrever a equação simétrica da reta, a gente iguala cada expressão das equações paramétricas a x - 12 = y + 21 = z - 3-6 e resolve para :
Essa é a forma simétrica da equação da reta .

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a equação reduzida na variável x = 1 + 2t Rightarrow t = x - 12 . Isso significa resolver as equações paramétricas para y = -2 + ( x - 12 ) = -2 + x2 - 12 = x2 - 52 e z = 3 - 6 ( x - 12 ) = 3 - 3(x - 1) = 3 - 3x + 3 = 6 - 3x em termos de y = x2 - 52 z = 6 - 3x .
Primeiro, da equação paramétrica de :
Agora, substituímos nas equações de e :
Então, a equação reduzida na variável é:

Resposta

As equações da reta x = 1 + 2t y = -2 + t z = 3 - 6t são:
Equações Paramétricas:
x - 12 = y + 21 = z - 3-6
Equação Simétrica:
y = x2 - 52 z = 6 - 3x
Equação Reduzida na variável :

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