Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
(g) A=[ccca & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c]; onde a, b, c in R^*.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada A = a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c que é diagonal, ou seja, só tem números na diagonal principal e zeros no resto. A matriz é:
Nosso objetivo é descobrir se essa matriz tem uma inversa e, se sim, qual é ela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz det(A) = a times b times c é invertível. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. O determinante de uma matriz diagonal é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então, calculando o determinante de :
Como foi dado que são números reais diferentes de zero ( ), o produto também será diferente de zero. Portanto, , o que significa que a matriz é invertível.

Passo 3

Agora que sabemos que A^-1 = 1a & 0 & 0 0 & 1b & 0 0 & 0 & 1c tem uma inversa, vamos encontrá-la. Para matrizes diagonais, a inversa é bem simples de calcular: basta inverter cada elemento da diagonal principal. Ou seja, a matriz inversa será:
Isso funciona porque multiplicar por vai resultar na matriz identidade, confirmando que realmente encontramos a inversa correta.

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 1a & 0 & 0 0 & 1b & 0 0 & 0 & 1c é:

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