Resolva os sistemas lineares usando o método da eliminação de Gauss.
(b) l3 x-2 y+z=1 x-y+z=0 2 x-y+z=3 Resp: X=[l3 5 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações pelo método da eliminação de Gauss. Primeiro, vamos entender o que temos aqui. Estamos lidando com um sistema linear com três equações e três incógnitas (x, y e z). O nosso objetivo é encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar o sistema até encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema na forma de uma matriz aumentada:
3 & -2 & 1 & | & 1 1 & -1 & 1 & | & 0 2 & -1 & 1 & | & 3
Aqui, cada linha representa uma equação, e a barra vertical separa os coeficientes das variáveis do lado direito das equações.

Passo 3

O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma triangular, fazendo com que os elementos abaixo da diagonal principal sejam zeros. Vamos começar eliminando o x das segunda e terceira equações.
Primeiro, vamos substituir a segunda equação pela segunda equação menos (1/3) vezes a primeira equação:
R2 = R2 - (13)R1
3 & -2 & 1 & | & 1 0 & -13 & 23 & | & -13 2 & -1 & 1 & | & 3

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x da terceira equação. Fazemos isso substituindo a terceira equação pela terceira equação menos (2/3) vezes a primeira equação:
R3 = R3 - (23)R1
3 & -2 & 1 & | & 1 0 & -13 & 23 & | & -13 0 & 13 & 13 & | & 73

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda e terceira equações para eliminar o y da terceira equação. Primeiro, vamos multiplicar a segunda equação por 1 para facilitar:
R2: 0 ,x - 13 ,y + 23 ,z = -13
E a terceira equação:
R3: 0 ,x + 13 ,y + 13 ,z = 73
Vamos somar R2 e R3 para eliminar o y:
R3 = R3 + R2
3 & -2 & 1 & | & 1 0 & -13 & 23 & | & -13 0 & 0 & 1 & | & 2

Passo 6

Agora que temos uma matriz triangular, podemos resolver de trás para frente. Começamos pela última equação:
1 ,z = 2 Rightarrow z = 2

Passo 7

Substituímos z na segunda equação para encontrar y:
-13 ,y + 23 times 2 = -13
-13 ,y + 43 = -13
Subtraindo -13 ,y = -53 Rightarrow y = 5 de ambos os lados:

Passo 8

Por fim, substituímos y e z na primeira equação para encontrar x:
3 ,x - 2 times 5 + 2 = 1
3 ,x - 10 + 2 = 1
3 ,x - 8 = 1 Rightarrow 3 ,x = 9 Rightarrow x = 3

Resposta

X = 3 5 2

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