Resolva os sistemas lineares usando o método da eliminação de Gauss.
(b) Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações pelo método da eliminação de Gauss. Primeiro, vamos entender o que temos aqui. Estamos lidando com um sistema linear com três equações e três incógnitas (x, y e z). O nosso objetivo é encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar o sistema até encontrar os valores das variáveis.
Passo 2
Vamos começar escrevendo o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Aqui, cada linha representa uma equação, e a barra vertical separa os coeficientes das variáveis do lado direito das equações.
Passo 3
O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma triangular, fazendo com que os elementos abaixo da diagonal principal sejam zeros. Vamos começar eliminando o x das segunda e terceira equações.
Primeiro, vamos substituir a segunda equação pela segunda equação menos (1/3) vezes a primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o x da terceira equação. Fazemos isso substituindo a terceira equação pela terceira equação menos (2/3) vezes a primeira equação:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda e terceira equações para eliminar o y da terceira equação. Primeiro, vamos multiplicar a segunda equação por 1 para facilitar:
E a terceira equação:
Vamos somar R2 e R3 para eliminar o y:
Passo 6
Agora que temos uma matriz triangular, podemos resolver de trás para frente. Começamos pela última equação:
Passo 7
Substituímos z na segunda equação para encontrar y:
Subtraindo de ambos os lados:
Passo 8
Por fim, substituímos y e z na primeira equação para encontrar x: