Determine para que não tenha inversa e determine a inversa para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para qual valor de a matriz não tem inversa. Depois, quando , vamos achar a inversa dessa matriz. Para isso, vamos usar o conceito de determinante. Se o determinante da matriz for zero, ela não tem inversa. Se não for zero, a gente pode encontrar a inversa usando a fórmula do adjunto dividido pelo determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . A matriz é:
O determinante de uma matriz é calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 4
Para a matriz não ter inversa, o determinante deve ser zero:
Então, quando , a matriz não tem inversa.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inversa da matriz quando . Primeiro, substituímos na matriz:
Calculamos o determinante novamente:
Como o determinante não é zero, a inversa existe e é dada por:
Passo 6
Vamos encontrar a adjunta da matriz . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Calculando os cofatores:
Calculando cada determinante:
Simplificando:
Passo 7
Agora, a adjunta é a transposta dessa matriz de cofatores:
Passo 8
Finalmente, calculamos a inversa:
Resposta
Para que a matriz não tenha inversa, deve ser igual a . Quando , a inversa de é: