Determine para que não tenha inversa e determine a inversa para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para qual valor de a matriz não tem inversa. Depois, quando , vamos achar a inversa dessa matriz. Para isso, vamos usar o conceito de determinante. Se o determinante da matriz for zero, ela não tem inversa. Se não for zero, a gente pode encontrar a inversa usando a fórmula do adjunto dividido pelo determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . A matriz é:
O determinante de uma matriz é calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão:

Passo 4

Para a matriz não ter inversa, o determinante deve ser zero:
Então, quando , a matriz não tem inversa.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz quando . Primeiro, substituímos na matriz:
Calculamos o determinante novamente:
Como o determinante não é zero, a inversa existe e é dada por:

Passo 6

Vamos encontrar a adjunta da matriz . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Calculando os cofatores:
Calculando cada determinante:
Simplificando:

Passo 7

Agora, a adjunta é a transposta dessa matriz de cofatores:

Passo 8

Finalmente, calculamos a inversa:

Resposta

Para que a matriz não tenha inversa, deve ser igual a . Quando , a inversa de é:

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