Determine a in R para que A=[lll1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 2 & a] não tenha inversa e determine a inversa para a=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para qual valor de a matriz não tem inversa. Depois, quando , vamos achar a inversa dessa matriz. Para isso, vamos usar o conceito de determinante. Se o determinante da matriz for zero, ela não tem inversa. Se não for zero, a gente pode encontrar a inversa usando a fórmula do adjunto dividido pelo determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 2 & a . A matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) é:
det(A) = 1(0 cdot a - 0 cdot 2) - 1(1 cdot a - 0 cdot 1) + 0(1 cdot 2 - 0 cdot 1)
O determinante de uma matriz é calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão:
det(A) = 1(0 - 0) - 1(a - 0) + 0(2 - 0) = 0 - a + 0 = -a

Passo 4

Para a matriz -a = 0 implies a = 0 não ter inversa, o determinante deve ser zero:
Então, quando , a matriz não tem inversa.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz A = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 2 & 2 quando det(A) = -a = -2 . Primeiro, substituímos A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) na matriz:
Calculamos o determinante novamente:
Como o determinante não é zero, a inversa existe e é dada por:

Passo 6

Vamos encontrar a adjunta da matriz Cof(A) = det0 & 0 2 & 2 & -det1 & 0 1 & 2 & det1 & 0 1 & 2 -det1 & 0 1 & 2 & det1 & 0 1 & 2 & -det1 & 1 1 & 2 det1 & 1 1 & 0 & -det1 & 1 1 & 0 & det1 & 1 1 & 0 . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Calculando os cofatores:
Cof(A) = (0 cdot 2 - 0 cdot 2) & -(1 cdot 2 - 0 cdot 1) & (1 cdot 2 - 0 cdot 1) -(1 cdot 2 - 0 cdot 1) & (1 cdot 2 - 0 cdot 1) & -(1 cdot 2 - 1 cdot 1) (1 cdot 0 - 1 cdot 1) & -(1 cdot 0 - 1 cdot 1) & (1 cdot 0 - 1 cdot 1)
Calculando cada determinante:
Cof(A) = 0 & -2 & 2 -2 & 2 & -1 -1 & 1 & -1
Simplificando:

Passo 7

Agora, a adjunta é a transposta dessa matriz de cofatores:
adj(A) = 0 & -2 & -1 -2 & 2 & 1 2 & -1 & -1

Passo 8

Finalmente, calculamos a inversa:
A^-1 = 1-2 cdot 0 & -2 & -1 -2 & 2 & 1 2 & -1 & -1 = 0 & 1 & 0.5 1 & -1 & -0.5 -1 & 0.5 & 0.5

Resposta

Para que a matriz A^-1 = 0 & 1 & 0.5 1 & -1 & -0.5 -1 & 0.5 & 0.5 não tenha inversa, deve ser igual a . Quando , a inversa de é:

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