Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e queremos descobrir se ela tem uma inversa. Se tiver, vamos calcular essa inversa. O conteúdo que vamos usar aqui é o de matrizes e, mais especificamente, a inversa de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o determinante da matriz e como realizar operações de linha para encontrar a matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
A matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão por menores:
Calculando os menores:
Agora, substituindo de volta:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz tem inversa.
Passo 3
Agora que sabemos que é invertível, vamos encontrar . Uma forma prática de fazer isso é montar a matriz aumentada , onde é a matriz identidade, e aplicar operações de linha para transformar na identidade. Assim, ao final, a parte que estava na identidade se transforma em .
Montando a matriz aumentada:
Passo 4
Vamos realizar operações de linha para transformar a parte da esquerda em identidade.
Operação 1: Trocar a linha 1 pela linha 2 para colocar um 1 no primeiro elemento.
Operação 2: Subtrair a linha 1 da linha 3 para eliminar o 1 na posição (3,1).
Operação 3: Subtrair a linha 2 da linha 3 para eliminar o 1 na posição (3,2).
Operação 4: Multiplicar a linha 3 por -1 para deixar o elemento (3,3) igual a 1.
Operação 5: Eliminar o 1 na posição (1,3) subtraindo a linha 3 da linha 1.
Agora, a parte da esquerda é a matriz identidade, e a parte da direita é .