Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
© A=|lll0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0| Resp: A^-1=[ccc-1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e queremos descobrir se ela tem uma inversa. Se tiver, vamos calcular essa inversa. O conteúdo que vamos usar aqui é o de matrizes e, mais especificamente, a inversa de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o determinante da matriz e como realizar operações de linha para encontrar a matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 é invertível. Uma matriz só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de det(A) = 0 cdot 0 & 1 1 & 0 - 1 cdot 1 & 1 1 & 0 + 0 cdot 1 & 0 1 & 1 .
A matriz 0 & 1 1 & 0 = (0 cdot 0) - (1 cdot 1) = -1 é:
1 & 1 1 & 0 = (1 cdot 0) - (1 cdot 1) = -1
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão por menores:
1 & 0 1 & 1 = (1 cdot 1) - (0 cdot 1) = 1
Calculando os menores:
det(A) = 0 cdot (-1) - 1 cdot (-1) + 0 cdot 1 = 0 + 1 + 0 = 1
Agora, substituindo de volta:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz tem inversa.

Passo 3

Agora que sabemos que 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 é invertível, vamos encontrar . Uma forma prática de fazer isso é montar a matriz aumentada , onde é a matriz identidade, e aplicar operações de linha para transformar na identidade. Assim, ao final, a parte que estava na identidade se transforma em .
Montando a matriz aumentada:

Passo 4

Vamos realizar operações de linha para transformar a parte da esquerda em identidade.
Operação 1: Trocar a linha 1 pela linha 2 para colocar um 1 no primeiro elemento.
1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1
Operação 2: Subtrair a linha 1 da linha 3 para eliminar o 1 na posição (3,1).
1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & | & 0 & -1 & 1
Operação 3: Subtrair a linha 2 da linha 3 para eliminar o 1 na posição (3,2).
1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & | & -1 & -1 & 1
Operação 4: Multiplicar a linha 3 por -1 para deixar o elemento (3,3) igual a 1.
1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & | & 1 & 1 & -1
Operação 5: Eliminar o 1 na posição (1,3) subtraindo a linha 3 da linha 1.
1 & 0 & 0 & | & -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & | & 1 & 1 & -1
Agora, a parte da esquerda é a matriz identidade, e a parte da direita é .

Resposta

A^-1 = -1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1

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