(UDESC - SC) Uma rede de cinemas localizada em um Shopping Center oferece a seus clientes filmes em tecnologia 3D e filmes tradicionais (tecnologia 2D) a preços respectivos de 22 e 16 reais cada ingresso. Durante um único final de semana, esta rede faturou 18.840 reais com a venda de 1200 ingressos. Seus funcionários constataram que um terço dos clientes que optaram por assistir a filmes tradicionais e um quarto dos clientes que escolheram filmes em 3D nesse final de semana eram estudantes e/ou pessoas com idade igual ou superior a 60 anos, por isso pagaram meia-entrada ao adquirir seus ingressos. Portanto, qual o total de ingressos vendidos com valor integral durante esse final de semana?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma rede de cinemas que vende ingressos para filmes em 3D e 2D por R$22 e R$16, respectivamente. No fim de semana, eles venderam 1.200 ingressos e faturaram R$18.840. Além disso, parte dos clientes pagou meia-entrada: um terço dos que foram a filmes 2D e um quarto dos que foram a filmes 3D. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos ingressos foram vendidos pelo preço cheio durante esse fim de semana.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para configurar e resolver um sistema de equações que nos ajudará a encontrar o número de ingressos vendidos a preço cheio e meia-entrada para cada tipo de filme.

Passo 2

Vamos começar definindo algumas variáveis para facilitar:
  • x: número de ingressos em 3D vendidos a preço cheio.
  • y: número de ingressos em 2D vendidos a preço cheio.
Sabemos que parte dos clientes pagou meia-entrada:
  • Um quarto dos ingressos em 3D foram vendidos pela metade do preço, ou seja, cada ingresso custou R$11.
  • Um terço dos ingressos em 2D foram vendidos pela metade do preço, ou seja, cada ingresso custou R$8.

Passo 3

Agora, vamos expressar o total de ingressos vendidos:
  • Total de ingressos em 3D: ingressos a preço cheio (x) + ingressos a meia-entrada (x/4) = 5x/4
  • Total de ingressos em 2D: ingressos a preço cheio (y) + ingressos a meia-entrada (y/3) = 4y/3
Como o total de ingressos vendidos foi de 1.200, temos a equação:
54x + 43y = 1200

Passo 4

Também sabemos que o faturamento total foi de R$18.840. Vamos calcular isso:
  • Faturamento dos ingressos em 3D: x * R$22 + (x/4) * R$11 = R$22x + R$2.75x = R$24.75x
  • Faturamento dos ingressos em 2D: y * R$16 + (y/3) * R$8 = R$16y + R$2.6667y ≈ R$18.6667y
Portanto, temos a segunda equação:
18.840 Vamos calcular isso: - Faturamento dos ingressos em 3D: x * R

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
54x + 43y = 1200 24.75x + 18.6667y = 18840
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de x e y.

Passo 6

Primeiro, simplificamos a primeira equação multiplicando todos os termos por 12 para eliminar os denominadores:
12 times ( 54x + 43y ) = 12 times 1200 15x + 16y = 14400
Agora, temos:
15x + 16y = 14400 24.75x + 18.6667y = 18840

Passo 7

Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar a primeira equação por 1.65 (para alinhar os coeficientes de x):
1.65 times (15x + 16y) = 1.65 times 14400 24.75x + 26.4y = 23760
Agora, subtraímos a segunda equação dessa nova equação:
(24.75x + 26.4y) - (24.75x + 18.6667y) = 23760 - 18840 7.7333y = 4920

Passo 8

Resolvendo para y:
y = 49207.7333 approx 636
Agora que temos y, substituímos na primeira equação simplificada:
15x + 16(636) = 14400 15x + 10176 = 14400 15x = 4224 x = 422415 = 281.6
Como não podemos vender frações de ingressos, arredondamos para x = 282.

Resposta

Número total de ingressos vendidos a preço integral durante o fim de semana: 282 ingressos.

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