Determine, caso exista, a matriz inversa das matrizes a abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a matriz dada tem uma inversa e, se tiver, qual é essa inversa. Isso está dentro do conteúdo de matrizes inversas. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a matriz adjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. O determinante é um número que nos diz se a matriz tem inversa ou não. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
Nossa matriz é:
1 & 0 & 0 3 & 4 & 0 2 & 5 & 5
Como essa matriz é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então,
det(A) = 1 times 4 times 5 = 20
Passo 3
Agora que temos o determinante, vamos verificar se ele é diferente de zero. No nosso caso, , então a matriz tem inversa. Vamos continuar para encontrá-la.
Passo 4
Para encontrar a inversa da matriz, vamos calcular a matriz adjunta. A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Mas como nossa matriz é triangular inferior, isso simplifica um pouco os cálculos.
Primeiro, identificamos os cofatores de cada elemento da matriz.
Cofator(aij) = (-1)^i+j times det(Mij)
Onde 4 & 0 5 & 5 é a matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular os cofatores:
Cofator de 3 & 0 2 & 5: 3 & 4 2 & 5
Cofator de :
Cofator de :
E assim por diante para os demais elementos.
Depois de calcular todos os cofatores, formamos a matriz dos cofatores e, em seguida, transpondo-a, obtemos a matriz adjunta.
Passo 5
Agora, para encontrar a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) times adj(A) , usamos a fórmula:
Já sabemos que e calculamos a matriz adjunta no passo anterior. Então, basta multiplicar cada elemento da adjunta por para obter a inversa.