Determine, caso exista, a matriz inversa das matrizes a abaixo:
[lll1 & 0 & 0 3 & 4 & 0 2 & 5 & 5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a matriz dada tem uma inversa e, se tiver, qual é essa inversa. Isso está dentro do conteúdo de matrizes inversas. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. O determinante é um número que nos diz se a matriz tem inversa ou não. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
Nossa matriz é:
1 & 0 & 0 3 & 4 & 0 2 & 5 & 5
Como essa matriz é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então,
det(A) = 1 times 4 times 5 = 20

Passo 3

Agora que temos o determinante, vamos verificar se ele é diferente de zero. No nosso caso, , então a matriz tem inversa. Vamos continuar para encontrá-la.

Passo 4

Para encontrar a inversa da matriz, vamos calcular a matriz adjunta. A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Mas como nossa matriz é triangular inferior, isso simplifica um pouco os cálculos.
Primeiro, identificamos os cofatores de cada elemento da matriz.
Cofator(aij) = (-1)^i+j times det(Mij)
Onde 4 & 0 5 & 5 é a matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular os cofatores:
  • Cofator de 3 & 0 2 & 5: 3 & 4 2 & 5
  • Cofator de :
  • Cofator de :
  • E assim por diante para os demais elementos.
Depois de calcular todos os cofatores, formamos a matriz dos cofatores e, em seguida, transpondo-a, obtemos a matriz adjunta.

Passo 5

Agora, para encontrar a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) times adj(A) , usamos a fórmula:
Já sabemos que e calculamos a matriz adjunta no passo anterior. Então, basta multiplicar cada elemento da adjunta por para obter a inversa.

Resposta

A inversa da matriz dada é:

[
A^{-1} = \frac{1}{20} \times
A^-1 = 120 times 20 & 0 & 0 -15 & 5 & 0 7 & -4 & 4 = 1 & 0 & 0 -0.75 & 0.25 & 0 0.35 & -0.2 & 0.2


]

Exercícios relacionados

Use sistemas lineares para determinar a decomposição em frações parciais das expressões abaixo:
x^3+3 x^2+3 x-2(x+1)^2(x-1)(x-2)=Ax+1+B(x+1)^2+Cx-1+Dx-2
(UDESC - SC) Uma rede de cinemas localizada em um Shopping Center oferece a seus clientes filmes em tecnologia 3D e filmes tradicionais (tecnologia 2D) a preços respectivos de 22 e 16 reais cada ingresso. Durante um único final de semana, esta rede faturou 18.840 reais com a venda de 1200 ingressos. Seus funcionários constataram que um terço dos clientes que optaram por assistir a filmes tradicionais e um quarto dos clientes que escolheram filmes em 3D nesse final de semana eram estudantes e/ou pessoas com idade igual ou superior a 60 anos, por isso pagaram meia-entrada ao adquirir seus ingressos. Portanto, qual o total de ingressos vendidos com valor integral durante esse final de semana?
Mostre que a inversa de uma matriz invertível e simétrica também é simétrica.
Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jordan.
lx+2 y-z=2 2 x-y+3 z=9 3 x+3 y-2 z=3