Use sistemas lineares para determinar a decomposição em frações parciais das expressões abaixo:
x^3+3 x^2+3 x-2(x+1)^2(x-1)(x-2)=Ax+1+B(x+1)^2+Cx-1+Dx-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de frações parciais! A gente tem uma expressão racional e queremos quebrar ela em somas de frações mais simples. Pra isso, vamos usar sistemas lineares. Precisamos achar os valores de , , e que fazem a igualdade ser verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum, que é x^3+3 x^2+3 x-2 = A(x+1)(x-1)(x-2) + B(x-1)(x-2) + C(x+1)^2(x-2) + D(x+1)^2(x-1) . Isso vai cancelar os denominadores e facilitar nossa vida.

Passo 3

Agora, vamos escolher valores de (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) - 2 = B(-1-1)(-1-2) que simplificam a equação, fazendo alguns termos desaparecerem. Isso ajuda a encontrar os valores das constantes rapidamente.
  • Quando -1 + 3 - 3 - 2 = B(-2)(-3) :
-3 = 6B implies B = -12
1^3 + 3(1)^2 + 3(1) - 2 = C(1+1)^2(1-2)
1 + 3 + 3 - 2 = C(4)(-1)
  • Quando 5 = -4C implies C = -54 :
2^3 + 3(2)^2 + 3(2) - 2 = D(2+1)^2(2-1)
8 + 12 + 6 - 2 = D(9)(1)
24 = 9D implies D = 83
  • Quando :

Passo 4

Agora que temos 0^3 + 3(0)^2 + 3(0) - 2 = A(0+1)(0-1)(0-2) + B(0-1)(0-2) + C(0+1)^2(0-2) + D(0+1)^2(0-1) , -2 = A(1)(-1)(-2) + (-12)(-1)(-2) + (-54)(1)(-2) + 83(1)(-1) e -2 = 2A + (-1) + 104 - 83 , vamos encontrar -2 = 2A - 1 + 2.5 - 2.666 . Para isso, podemos escolher outro valor de -2 = 2A - 1 - 0.166 ou comparar os coeficientes dos termos de mesmo grau. Vamos escolher 2A = -2 + 1 + 0.166 para facilitar:
2A = -0.833 implies A = -512

Resposta

A decomposição em frações parciais da expressão dada é:
x^3+3 x^2+3 x-2(x+1)^2(x-1)(x-2) = -512x+1 + -12(x+1)^2 + -54x-1 + 83x-2

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Determine times para que as matrizes a seguir sejam iguais as suas inversas.
(cc3 & x -2 & -3)
Determine, caso exista, a matriz inversa das matrizes a abaixo:
[lll1 & 0 & 0 3 & 4 & 0 2 & 5 & 5]
Mostre que a inversa de uma matriz invertível e simétrica também é simétrica.