Mostre que a inversa de uma matriz invertível e simétrica também é simétrica.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de matrizes aqui. A questão é mostrar que se uma matriz é invertível e simétrica, então a sua inversa também é simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica, o que é uma matriz invertível e como funciona a inversa de uma matriz. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é feita trocando as linhas pelas colunas.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a matriz inversa. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições.
Passo 4
Sabendo que é simétrica, temos que . Queremos provar que também é simétrica, ou seja, .
Passo 5
Vamos usar a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que . Aplicando isso à equação , temos:
Como é simétrica, . Então:
Passo 6
Comparando com a definição de matriz inversa, onde , vemos que:
Portanto, , o que significa que é simétrica.
Resposta
A inversa de uma matriz invertível e simétrica também é simétrica.