Vamos resolver o exercício que pede para determinar a inversa da matriz , caso ela exista. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente a parte referente à matrizes inversas. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante de e, se for diferente de zero, encontrar a matriz inversa utilizando métodos como a matriz adjunta.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz A = 0 & -1 & -2 & 1 1 & -1 & 1 & 1 0 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & 1 & 0 é inversível. Para isso, calculamos o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
A matriz é dada por:
Passo 3
Vamos calcular o determinante de det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14 . Para uma matriz , podemos expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Optaremos pela expansão por cofatores na primeira linha:
onde são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Calculando os cofatores:
-1 & 1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & 1 & 0
1 & 1 & 1 0 & 1 & -1 1 & 1 & 0
1 & -1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 1 & 0
1 & -1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 1 & 1
Passo 5
Calculando cada determinante:
-1 & 1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & 1 & 0
1 & 1 & 1 0 & 1 & -1 1 & 1 & 0
1 & -1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 1 & 0
1 & -1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 1 & 1
Passo 6
Agora, substituímos os valores dos cofatores no cálculo do determinante:
Como o determinante de é , que é diferente de zero, a matriz é inversível.
Passo 7
Para encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , utilizamos a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de .
Passo 8
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores de . Calculamos todos os cofatores para cada elemento da matriz e organizamos na matriz adjunta.
Após calcular todos os cofatores (similar aos Passos 4 e 5), obtemos a matriz adjunta.
Passo 9
Multiplicamos a matriz adjunta por A^-1 = 1-7 cdot adj(A) :
Resposta
A inversa da matriz A^-1 = 1-7 cdot adj(A) é:
Onde é a matriz adjunta calculada a partir dos cofatores de .