Determine , caso exista.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a inversa da matriz , caso ela exista. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente a parte referente à matrizes inversas. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante de e, se for diferente de zero, encontrar a matriz inversa utilizando métodos como a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz é inversível. Para isso, calculamos o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
A matriz é dada por:

Passo 3

Vamos calcular o determinante de . Para uma matriz , podemos expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Optaremos pela expansão por cofatores na primeira linha:
onde são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Calculando os cofatores:

Passo 5

Calculando cada determinante:

Passo 6

Agora, substituímos os valores dos cofatores no cálculo do determinante:
Como o determinante de é , que é diferente de zero, a matriz é inversível.

Passo 7

Para encontrar a inversa de , utilizamos a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de .

Passo 8

A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores de . Calculamos todos os cofatores para cada elemento da matriz e organizamos na matriz adjunta.
Após calcular todos os cofatores (similar aos Passos 4 e 5), obtemos a matriz adjunta.

Passo 9

Multiplicamos a matriz adjunta por :

Resposta

A inversa da matriz é:
Onde é a matriz adjunta calculada a partir dos cofatores de .

Exercícios relacionados

escolha três pontos no plano e calcule a área do triângulo formado (pelo método acima). Em quais condições a área será zero? (aqui é indispensável explicitar as coordenadas dos pontos, a matriz e o cálculo do determinante).
Sejam e vetores em tais que
Mostre que é uma base ordenada de . Além disso, calcule .
Seja uma matriz quadrada de ordem 3 tal que . Calcule:
(a)
Determine , caso exista.