Determine A^-1, caso exista.
A=[rrrr0 & -1 & -2 & 1 1 & -1 & 1 & 1 0 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & 1 & 0]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a inversa da matriz , caso ela exista. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente a parte referente à matrizes inversas. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante de e, se for diferente de zero, encontrar a matriz inversa utilizando métodos como a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz A = 0 & -1 & -2 & 1 1 & -1 & 1 & 1 0 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & 1 & 0 é inversível. Para isso, calculamos o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
A matriz é dada por:

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14 . Para uma matriz , podemos expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Optaremos pela expansão por cofatores na primeira linha:
onde são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Calculando os cofatores:
  • -1 & 1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & 1 & 0
  • 1 & 1 & 1 0 & 1 & -1 1 & 1 & 0
  • 1 & -1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 1 & 0
  • 1 & -1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 1 & 1

Passo 5

Calculando cada determinante:
  1. -1 & 1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & 1 & 0
  2. 1 & 1 & 1 0 & 1 & -1 1 & 1 & 0
  3. 1 & -1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 1 & 0
  4. 1 & -1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 1 & 1

Passo 6

Agora, substituímos os valores dos cofatores no cálculo do determinante:
det(A) = 0 cdot (-4) + (-1) cdot (-1) + (-2) cdot 3 + 1 cdot (-2) = 0 +1 -6 -2 = -7
Como o determinante de é , que é diferente de zero, a matriz é inversível.

Passo 7

Para encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , utilizamos a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de .

Passo 8

A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores de . Calculamos todos os cofatores para cada elemento da matriz e organizamos na matriz adjunta.
Após calcular todos os cofatores (similar aos Passos 4 e 5), obtemos a matriz adjunta.

Passo 9

Multiplicamos a matriz adjunta por A^-1 = 1-7 cdot adj(A) :

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 1-7 cdot adj(A) é:
Onde é a matriz adjunta calculada a partir dos cofatores de .

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