escolha três pontos no plano e calcule a área do triângulo formado (pelo método acima). Em quais condições a área será zero? (aqui é indispensável explicitar as coordenadas dos pontos, a matriz e o cálculo do determinante).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você precisa fazer é escolher três pontos no plano cartesiano e calcular a área do triângulo que esses pontos formam. Para isso, vamos usar o método do determinante, que envolve coordenadas dos pontos e uma matriz específica. No final, também vamos descobrir em quais situações essa área será zero. Então, vamos precisar das coordenadas dos três pontos, montar uma matriz e calcular o determinante dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher três pontos no plano. Vamos chamar esses pontos de , e . Vamos atribuir coordenadas a cada um:
Essas coordenadas representam as posições dos pontos no plano.
Passo 3
Agora, vamos montar uma matriz com essas coordenadas para facilitar o cálculo da área. A matriz que usamos para calcular o determinante é a seguinte:
Essa matriz inclui as coordenadas dos três pontos e um terceiro elemento igual a 1 para cada ponto.
Passo 4
O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a encontrar uma expressão que, ao ser dividida por 2, dá a área do triângulo formado pelos três pontos. A fórmula para o determinante de uma matriz é:
Simplificando:
Passo 5
A área do triângulo formado pelos pontos , e é dada por:
Isso significa que calculamos o valor absoluto do determinante da matriz e dividimos por 2 para obter a área do triângulo.
Passo 6
Vamos ver um exemplo prático para entender melhor. Suponha que temos os seguintes pontos:
Primeiro, montamos a matriz :
Passo 7
Calculamos o determinante de :
Passo 8
Agora, calculamos a área:
Então, a área do triângulo formado pelos pontos , e é 8 unidades de área.
Passo 9
Por fim, vamos entender em quais condições a área será zero. Observando a fórmula da área:
A área será zero quando o determinante da matriz for igual a zero:
Isso acontece quando os três pontos estão alinhados, ou seja, estão todos na mesma reta. Nessa situação, eles não formam um triângulo de fato, pois não há “área” entre eles.
Resposta
A área do triângulo formado pelos três pontos escolhidos é 8 unidades de área. A área será zero quando os três pontos estiverem alinhados, ou seja, estiverem na mesma reta.