Sejam e vetores em tais que
Mostre que é uma base ordenada de . Além disso, calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores no plano, mais especificamente em . Temos dois vetores, e , que satisfazem duas condições:
  1. A soma dos produtos correspondentes das componentes é zero, ou seja, . Isso significa que os vetores são ortogonais (perpendiculares entre si).
  2. As magnitudes (ou normas) de ambos os vetores são iguais a 1, isto é, . Isso indica que os vetores são unitários.
Vamos usar esses fatos para mostrar que forma uma base ordenada de e, em seguida, calcular as coordenadas de um vetor qualquer nessa base.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma base em um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No nosso caso, como estamos em , precisamos de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para formar uma base.
Como e são ortogonais (perpendiculares) e cada um tem magnitude 1, eles não são múltiplos um do outro. Isso já nos dá uma pista de que eles são linearmente independentes.

Passo 3

Para confirmar que é uma base, vamos verificar a linearidade. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear de e .
Como e são ortonormais (ortogonais e com norma 1), elas formam uma base ortonormal. Em tal base, qualquer vetor pode ser expressado facilmente como:
onde e são escalares que representam as coordenadas de na base .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de e . Para isso, utilizamos a propriedade de ortonormalidade:
Aqui, o símbolo “ ” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 5

Com os valores de e encontrados, podemos escrever as coordenadas de na base como:
Isso significa que, para qualquer vetor em , suas coordenadas na base são dadas por essas combinações lineares.

Resposta

A base ordenada é de fato uma base de , e as coordenadas de um vetor nessa base são dadas por:

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Escreva as equações a seguir na forma , determinando o centro e o raio das circunferências.
.
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Determine , caso exista.