Sejam V=R^2, u=(a, b) e v=(c, d) vetores em V tais que
a c+b d=0 e a^2+b^2=c^2+d^2=1
Mostre que beta=u, v é uma base ordenada de V. Além disso, calcule [(x, y)]beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores no plano, mais especificamente em R^2. Temos dois vetores, u = (a, b) e v = (c, d), que satisfazem duas condições:
  1. A soma dos produtos correspondentes das componentes é zero, ou seja, a c + b d = 0. Isso significa que os vetores são ortogonais (perpendiculares entre si).
  2. As magnitudes (ou normas) de ambos os vetores são iguais a 1, isto é, a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1. Isso indica que os vetores são unitários.
Vamos usar esses fatos para mostrar que beta = u, v forma uma base ordenada de R^2 e, em seguida, calcular as coordenadas de um vetor qualquer (x, y) nessa base.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma base em um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No nosso caso, como estamos em R^2, precisamos de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para formar uma base.
Como u e v são ortogonais (perpendiculares) e cada um tem magnitude 1, eles não são múltiplos um do outro. Isso já nos dá uma pista de que eles são linearmente independentes.

Passo 3

Para confirmar que beta = u, v é uma base, vamos verificar a linearidade. Isso significa que qualquer vetor em R^2 pode ser escrito como uma combinação linear de u e v.
Como u e v são ortonormais (ortogonais e com norma 1), elas formam uma base ortonormal. Em tal base, qualquer vetor (x, y) pode ser expressado facilmente como:
(x, y) = c1 u + c2 v
onde c1 e c2 são escalares que representam as coordenadas de (x, y) na base beta.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de c1 e c2. Para isso, utilizamos a propriedade de ortonormalidade:
c1 = u cdot (x, y) = a x + b y c2 = v cdot (x, y) = c x + d y
Aqui, o símbolo “ cdot” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 5

Com os valores de c1 e c2 encontrados, podemos escrever as coordenadas de (x, y) na base beta como:
[(x, y)]beta = c1 c2 = a x + b y c x + d y
Isso significa que, para qualquer vetor (x, y) em R^2, suas coordenadas na base beta são dadas por essas combinações lineares.

Resposta

A base ordenada beta = u, v é de fato uma base de V = R^2, e as coordenadas de um vetor (x, y) nessa base são dadas por:
[(x, y)]beta = a x + b y c x + d y

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